如何仅使用数学方程计算直线和椭圆之间的交点

Question

我想使用 python 计算椭圆和直线之间的交点。 但是，当给定直线的两个端点以及椭圆的中心点和半径时，如何仅使用数学二次方程来实现呢？

stackoverflow 上的解决方案都没有描述我正在寻找的解决方案。 他们使用 numpy、scipy 和其他库或使用三角学 - 他们都不使用纯粹的数学过程。

比较

这篇文章中的解决方案例如：

你有椭圆公式：

(x - center_x)^2 / a^2 + (y - center_y)^2 / b^2 = 1

以及直线公式：

y = m*x + c

链接帖子中的解决方案描述了在重排时从中导出的二次公式：

A=a2m2+b2

B=2a2m(c-k)-2b2h

C=b2h2+a2(c-k)2-a2b2

我想仅使用数学来求解这个方程，求解 x，然后使用直线公式求解 y。

但是，当使用上述公式时，得到的交点是错误的，并且不位于椭圆或直线上。

这是我尝试过的代码：

from math import *
def GetIntersectionPoints(line_point_a, line_point_b, center_x, center_y, rad_x, rad_y):
    # use line formula to calculate m and c:
    x1, y1, x2, y2 = *line_point_a, *line_point_b
    m = (y1 - y2) / (x1 - x2) if not x1 - x2 == 0 else 0
    c = y2 - (m * x2)

    # Using quadratic equation provided in linked solution:
    A = (rad_y ** 2) + ((rad_x ** 2) * (m ** 2))
    B = (2 * (rad_x ** 2) * m * (c - center_y)) - 2 * (rad_y ** 2) * center_x
    C = (rad_y ** 2) * (center_x ** 2) + (rad_x ** 2) * (c - center_y) * 2 - (rad_x ** 2) * (rad_y ** 2)

    # Solving quadratic equation:
    xi1 = (-B - sqrt((B ** 2) - (4 * A * C))) / (2 * A)
    xi2 = (-B + sqrt((B ** 2) - (4 * A * C))) / (2 * A)

    # Solving for y:
    yi1 = m * xi1 + c
    yi2 = m * xi2 + c

    return [[xi1, yi1], [xi2, yi2]]

如何在不使用 scipy、numpy 等（或 stackoverflow 上描述的三角学和其他解决方案）的情况下，以纯数学方式在 python 中正确求解方程和公式，以检索位于椭圆上的正确交点？

Answer 1

参见代码中的解释如何计算交点。该代码不使用任何模块，并在纯 Python 中完成所有计算：

def get_intersection_points(line_point_a, line_point_b, center_x, center_y, rad_x, rad_y):
    # Line endpoints
    x1, y1 = line_point_a
    x2, y2 = line_point_b
    # Calculate line slope (m) and intercept (c)
    if x1 != x2:
        m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
    else:
        m = float('inf')  # Vertical line case
    c = y1 - m * x1 if m != float('inf') else x1  # If line is vertical, c is x1
    # Ellipse parameters
    h = center_x
    k = center_y
    a = rad_x
    b = rad_y
    if m != float('inf'):
        # Coefficients of the quadratic equation
        A = b**2 + a**2 * m**2
        B = 2 * a**2 * m * (c - k) - 2 * b**2 * h
        C = b**2 * h**2 + a**2 * (c - k)**2 - a**2 * b**2
        # Discriminant
        D = B**2 - 4 * A * C
        if D < 0:
            return []  # No intersection points
        # Calculate the x-coordinates of the intersection points
        sqrt_D = D**0.5 # math.sqrt(D)
        xi1 = (-B - sqrt_D) / (2 * A)
        xi2 = (-B + sqrt_D) / (2 * A)
        # Calculate the y-coordinates of the intersection points
        yi1 = m * xi1 + c
        yi2 = m * xi2 + c
        return [[xi1, yi1], [xi2, yi2]]
    else:
        # Vertical line case (x = c)
        x = c
        A = 1 / a**2
        B = -2 * k / b**2
        C = (h**2 / a**2) + (k**2 / b**2) - 1
        # Quadratic equation for y
        A_y = 1 / b**2
        B_y = -2 * k / b**2
        C_y = (x - h)**2 / a**2 + k**2 / b**2 - 1
        # Discriminant
        D_y = B_y**2 - 4 * A_y * C_y
        
        if D_y < 0:
            return []  # No intersection points
        
        # Calculate the y-coordinates of the intersection points
        sqrt_D_y = D_y**0.5 # math.sqrt(D_y)
        yi1 = (-B_y - sqrt_D_y) / (2 * A_y)
        yi2 = (-B_y + sqrt_D_y) / (2 * A_y)
        
        return [ [x , yi1], [ x , yi2] ]

# Example usage:
line_point_a = (1, 2)
line_point_b = (4, 3)
center_x = 2
center_y = 2
rad_x = 5
rad_y = 3

print(get_intersection_points(line_point_a, line_point_b, center_x, center_y, rad_x, rad_y))

from turtle import *
Screen().setworldcoordinates(-10, -10, 10, 10)
color("blue")
shape("circle")
pensize(5)

up(); goto( center_x, center_y - rad_x ); 
down(); circle(rad_x)  
up(); goto( center_x, center_y - rad_y ); 
down(); circle(rad_y)
up(); goto( *line_point_a)
down(); goto(*line_point_b)
up() 
for point in get_intersection_points(line_point_a, line_point_b, center_x, center_y, rad_x, rad_y) : 
    goto(*point)
    stamp()
shape("turtle")
color("black")
goto(-8,-8)
done()

为了检查代码是否正确工作，海龟绘制了两个圆圈和线点：