Matlab eig 相同的矩阵返回不同的答案

Question

我正在使用 MATLAB 的

eig

函数。

我定义

Sxx

和

Sxx2

是完全相同的，但是使用函数

eig

来获取特征值

D

和

D2

它们是不同的。

xt=Xnor';
Sxx=xt*Xnor/6299;
Sxx2=Xnor'*Xnor/6299;

D = eig(Sxx);
D2 = eig(Sxx2);

Sxx和Sxx2值对比截图

我检查了矩阵

Sxx

和

Sxx2

，值都是一样的
但是

D

和

D2

的值似乎包含一个巨大的错误

D与D2值对比截图

我错过了什么吗？

Answer 1

@克里斯·卢恩戈

“...奇怪的是 MATLAB 在某种情况下会选择不同的算法...”

这一点也不奇怪。在一种情况下，代码强制 MATLAB 执行通用矩阵乘法（不保证结果严格对称/厄米特）：

xt=Xnor';
Sxx=xt*Xnor/6299; % symmetry not recognized, generic DGEMM() or ZGEMM() BLAS routine called.

在另一种情况下，MATLAB 解析器识别对称性并调用对称 BLAS() 矩阵乘法例程，这是一个完全不同的例程（保证结果严格对称/厄米特）。

Sxx2=Xnor'*Xnor/6299; % symmetry recognized by parser, DSYRK() or ZSYRK() BLAS routine called

因此，在对称情况下，操作和计算的背景顺序发生了变化。人们应该预料到结果可能会略有不同。

“...这个矩阵被秘密标记为对称...”

MATLAB 变量中没有这样的背景标记。 eig() 函数本身在决定调用哪个后台例程之前显式检查输入参数的对称性。只是 DGEMM() 或 ZGEMM() 结果通常会略有偏差，并且不严格对称/厄米式直至最后一位，而 DSYRK() 或 ZSYRK() 结果保证严格对称/厄米式直至最后一位最后一位（它们仅返回三角形结果...MATLAB 复制背景中的非对角线元素以获得完整结果，因此保留了精确的对称性）。

对结果进行排序应该会发现答案非常接近。

一般来说，我建议不要明确地形成转置。让 MATLAB 尽可能保持严格的对称性。

例如，取一个随机矩阵，看看会发生什么

>> a = rand(100);
>> b1 = a'*a; % faster and strictly symmetric/Hermitian result
>> at = a';
>> b2 = at*a; % slower and no guarantee of symmetric/Hermitian result
>> isequal(b1,b2)
ans =
  logical
   0
>> isequal(b1',b1)
ans =
  logical
   1
>> isequal(b2',b2)
ans =
  logical
   0
>> max(abs(b1(:)-b2(:))./b1(:))
ans =
   1.0307e-15

不完全一样，但非常接近。 b1 中保留了严格对称性，但 b2 中没有。