从贝塞尔曲线到点的垂直线

Question

问题

我需要得到Q（三次）贝塞尔曲线的点[[Q B（t），其中从点[[Q到另一个给定点的线 P 垂直相交与贝塞尔曲线。

我知道：

P

，

B（t）

我正在寻找：Q（基本上我希望具有

g

的斜率，但是当我知道Q时我可以轻松地计算出这个斜率，但是g的斜率是足够）

我到目前为止所做的（您可以跳过此操作）

---

请注意，我认为此ansatz是错误的。仅出于完整性目的而包括在内。

我试图用我的数学基础知识解决这个问题，但我无法完成。这就是我现在所拥有的（请对符号不要太严格，我对此不太好）：

以下公式将表示为

y（x）

，以获得一个结果，该结果必须针对

y（x）

and x（y）计算。 P点是控制点，Q是从Q到P的线g（x）在贝塞尔曲线< [B（t）=（x，y）T。 g（x）行的表达式可以通过检索其中B（x）是笛卡尔坐标中的贝塞尔曲线，

B'（x）

导数（在笛卡尔坐标中），

k是与y轴的交点。要获得g（x）的斜率，必须求解

要计算B（x），必须对

t求解

B [t]，然后将其重新插入B（t）。因此，在贝塞尔曲线上的每个点都存在以下关系：

也适用于导数

B

'（t）。

B（t）

的导数为（根据wikipedia）

将其求解为t（with wolfram alpha）得到

其中

a

0

=（

P 1

-_{P 0}）[[x，_{a 1] > =（P 2]-P 1）[[x}和a ₂ =（P _{3] >}-_{P 2}）_x。将* t i * s重新插入_B（t）会导致（wolfram alpha for t₁，wolfram alpha for t₂，wolfram alpha for t₃）_{现在，下一件事是使用y = B'（x）和第二个等式并消除x，但我不知道该怎么做，我什至不知道这样做是否可行。 问题我需要得到三次（2d）贝塞尔曲线B（t）的点Q，从点Q到另一个给定点P的线与贝塞尔曲线垂直相交。我知道：P，B（t）我看起来...}

您已经知道贝塞尔曲线的导数-它描述了曲线的切线。该切线应垂直于QP向量。因此，此时您需要写出向量PQ和切线向量T的两个分量

PQx = 3*(1-t)^3 * P0.x + ... - P.x
PQy = 3*(1-t)^3 * P0.y + ... - P.y
Tx = 3*(1-t)^2 * (P1.x - P0.x).... and so on
Ty = ....

并对向量T和QP的点积求方程（对于垂直向量，点积为零：]

PQx * Tx + PQy * Ty = 0

现在打开方括号，得到未知t的

5-th

度方程。

这种多项式方程没有封闭形式的解决方案，因此您需要某种数值root-finding algorithm（使用那些用于多项式根的数值）

Answer 1

现在打开方括号，得到未知t的

5-th