计算梯子上可能路径的数量

Question

我似乎无法想出一个算法来解决以下问题，我尝试使用一系列for循环，但它变得太复杂了：

梯子有n台阶，人们可以使用1步或2步的任意组合爬上梯子。有多少可能的方式爬梯子？

因此，例如，如果梯子有3个步骤，这些将是可能的路径：

• 1-1-1
• 2-1
• 1-2

并为4个步骤

• 1-1-1-1
• 2-1-1
• 1-2-1
• 1-1-2
• 2-2

任何关于如何做到这一点的见解将不胜感激。另外，我在Java工作。

编辑：我确实会使用小的n值，但知道如何管理更大的值肯定会很好。

Answer 1

有趣的是，这个问题有一个简单的解决方案。你可以使用递归：

public static int countPossibilities(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) return n;
    return countPossibilities(n - 1) + countPossibilities(n - 2);
}

每当你遇到这种类型的“棘手”问题时，请记住解决方案通常非常优雅，并且总是检查是否可以通过递归完成某些操作。

编辑：我假设你会在这个问题上处理相对较小的n值，但如果你处理大问题，那么上面的方法可能需要很长时间才能完成。一种解决方案是使用将Map映射到n的countPossibilities(n) - 这样，就不会浪费时间去做你已经完成的计算。像这样的东西：

private static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();
static {
    map.put(1, 1);
    map.put(2, 2);
}

public static int countPossibilities(int n) {
    if (map.containsKey(n))
        return map.get(n);

    int a, b;

    if (map.containsKey(n - 1))
        a = map.get(n - 1);
    else {
        a = countPossibilities(n - 1);
        map.put(n - 1, a);
    }

    if (map.containsKey(n - 2))
        b = map.get(n - 2);
    else {
        b = countPossibilities(n - 2);
        map.put(n - 2, b);
    }

    return a + b;
}

尝试使用n = 1000。第二种方法比第一种方法快几个数量级。

Answer 2

这实际上与Fibonacci sequence密切相关，正如在迄今为止的评论中仅简要提到的那样：每个步骤n可以从下面的两个步骤（n-2）或下一步（n-1）到达，因此可能性的数量达到这一步是达到其他两个步骤的可能性的总和。最后，只有一种可能性到达第一步（和第二步，即停留在地面上）。

此外，由于步骤n的可能性数量仅取决于步骤n-1和n-2的结果，因此没有必要将所有这些中间值存储在地图或数组中 - 最后两个就足够了！

public static long possForStep(int n) {
    // current and last value, initially for n = 0 and n = 1
    long cur = 1, last = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // for each step, add the last two values and update cur and last
        long tmp = cur;
        cur = cur + last;
        last = tmp;
    }
    return cur;
}

这不仅通过良好的共享减少了代码量，而且在时间上给出了O（n）的复杂度，并且在空间中给出了O（1）的复杂度，而在存储所有中间值时，时间和空间中的O（n）相反。 。

然而，因为即使long类型也会随着n接近100而迅速溢出，O（n）的空间复杂性并不是真正的问题，所以你也可以选择这个更容易阅读的解决方案。

public static long possForStep(int n) {
    long[] values = new long[n+1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        // 1 for n==0 and n==1, else values[i-1] + values[i-2];
        values[i] = (i <= 1) ?  1 : values[i-1] + values[i-2];
    }
    return values[n];
}

更新：请注意，这与Fibonacci序列接近但不完全相同，后者启动0, 1, 1, 2, 3,...，而这个序列为1, 1, 2, 3, 5, ...，即possForStep(n) == fibonacci(n+1)。

Answer 3

我会使用动态编程，每次解决梯子1档或2档较短的问题。

def solveLadder(numOfRungs):
  if numOfRungs<=2:
    return numOfRungs
  return solveLadder(numOfRungs-1)+solveLadder(numOfRungs-2)

Answer 4

这是一棵带递归的树。对于那些无法工作的情况，您可能需要回溯（例如，对于三个阶梯，2-2）。

Answer 5

这是斐波那契系列。您可以使用尾递归递归优雅地解决它：

    let ladder n =
        let rec aux n1 n2 n =
            if n=0 then (n1 + n2)
            else aux n2 (n1+n2) (n-1)
        aux 1 1 (n-2)

一个更容易理解的非尾递归代码将是：

    let rec ladder n =
        if n<=2 then n
        else ladder (n-1) + ladder (n-2)

您可以轻松地将其转换为Java。

Answer 6

1. 项目清单

这是简单的斐波那契系列，如果我们可以采取的步骤是1或2

• 没有楼梯可能的情况 1 ------------------ 1 2 ------------------ 2 3 ------------------ 3 4 ------------------ 5 5 ------------------ 8 6 ------------------ 13

等等