liftA2是否保留关联性？

Question

给出(??)这样的操作>

(a ?? b) ?? c = a ?? (b ?? c)
（也就是说(??)是关联的]

必须是这种情况

liftA2 (??) (liftA2 (??) a b) c = liftA2 (??) a (liftA2 (??) b c)
（也就是说，liftA2 (??)是关联的]

如果愿意，可以将其重写为：

fmap (??) (fmap (??) a <*> b) <*> c = fmap (??) a <*> (fmap (??) b <*> c)
我花了一点时间盯着适用法律，但我无法提出证明就是这种情况。因此，我开始提出反对。我尝试过的所有开箱即用的应用程序（Maybe，[]，Either等）都遵循法律，因此我认为自己可以创建自己的应用程序。

我最好的主意是使空虚的应用程序带有附加的信息。

data Vacuous a = Vac Alg
Alg是一些代数，我会在以后方便时定义，以使该属性失效，但适用法律成功。

现在我们这样定义实例：

instance Functor Test where
  fmap f = id

instance Applicative Test where
  pure x = Vac i
  liftA2 f (Vac a) (Vac b) = Vac (comb a b)
  (Vac a) <*> (Vac b) = Vac (comb a b)
i是要确定的Alg的某个元素，而comb是要确定的Alg的二进制组合器。我们实际上没有其他方法可以定义它。

如果我们想满足Identiy

法则，这将强制i成为comb的同质性。然后，我们免费获得Homomorphism和Interchange。但是现在Composition强制comb关联于Alg

((pure (.) <*> Vac u) <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
   ((Vac i <*> Vac u) <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
               (Vac u <*> Vac v) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac v <*> Vac w)
                (Vac (comb u v)) <*> Vac w = Vac u <*> (Vac (comb v w))
                   Vac (comb (comb u v) w) = Vac (comb u (comb v w))
                         comb (comb u v) w = comb u (comb v w)
强迫我们满足财产。

有反例吗？如果不能，我们如何证明该财产？

给出一个运算（??）使得（a ?? b）?? c = a ?? （b ?? c）（也就是说（??）是关联的）是否必须满足liftA2（??）（liftA2（??）ab）c = liftA2（??）a（liftA2（?? ）bc）（...

Answer 1

这里是证明的一半。回想一下<$>和<*>都是左关联的，所以x <*> y <*> z = (x <*> y) <*> z。