fmap和bind的关系

Question

在查看

Control.Monad

文档后，我对 这段话：

以上定律暗示：

fmap f xs  =  xs >>= return . f

他们是怎么暗示的？

Answer 1

Control.Applicative

说

作为这些定律的结果，f 的

Functor

实例将满足

fmap f x = pure f <*> x

Applicative

和

Monad

的关系说

pure = return

(<*>) = ap

ap

说

return f `ap` x1 `ap` ... `ap` xn

相当于

liftMn f x1 x2 ... xn

因此

fmap f x = pure f <*> x
         = return f `ap` x
         = liftM f x
         = do { v <- x; return (f v) }
         = x >>= return . f

Answer 2

Functor

实例是唯一的，因为如果

F

是一个

Functor

并且您有一个函数

foobar :: (a -> b) -> F a -> F b

使得

foobar id = id

（也就是说，它遵循第一函子定律）那么

foobar = fmap 

.现在，考虑这个功能：

liftM :: Monad f => (a -> b) -> f a -> f b
liftM f xs = xs >>= return . f

那

liftM id xs

是什么？

liftM id xs
xs >>= return . id
-- id does nothing, so...
xs >>= return
-- By the second monad law...
xs

liftM id xs = xs

;也就是说，

liftM id = id

。因此，

liftM = fmap

；或者，换句话说......

fmap f xs  =  xs >>= return . f

epheriment的答案，它通过

Applicative

定律，也是得出这个结论的有效方法。

Answer 3

让我更完整地描述为什么这个等式成立：

---

那么，为什么是

bind (pure · f)  =  map f

？

这遵循三个单子法则和参数化（免费）。这意味着：

考虑功能

pure: ∀ a, F a

。因为这个函数必须对所有类型

a

起作用，所以它不能不更改或创建

a

类型的新元素，而只能复制或忘记

a

类型的值。因此，我们是否在应用

f: a→c

之前或之后应用任何函数

a

将所有

c

s更改为

pure

s并不重要。

左边我们在使用

f

之前应用

pure

，在右边我们应用

f

之后：

pure (f v) = map f (pure v)                       (free theorem for pure)

类似地，考虑函数

bind: ∀ a b, (a → F b) → (F a → F b)

。因为这个函数必须对所有类型

a

起作用，所以它不能不更改或创建

a

类型的新元素，而只能复制或忘记

a

类型的值。因此，我们是否在应用

f: a→c

之前或之后应用任何函数

a

将所有

c

s更改为

bind

s并不重要。

左边我们在使用

f

之前应用

bind

，在右边我们应用

f

之后：

bind (map f · g)  =  map f · bind g               (free theorem for bind)

如果我们现在简单地实例化 g=pure，我们得到：

bind (map f · pure)  =  map f · bind pure

对于这个方程，我们可以在左侧应用纯自由定理 (

map f · pure = pure · f

)，在右侧应用左单位单子定律 (

bind pure = id

)：

bind (pure · f)  =  map f

完成