使用 SAGEMATH 查找多变量生成函数中的系数

Question

我想求$[a^3b^3c^3]$在$$ igg[1- igg( rac{a+a^2}{1-(a+a^2 )}+ rac{b+b^2}{1-(b+b^2)}+ rac{c+c^2}{1-(c+c^2)} igg) igg]^( -1)$$

我在互联网上研究了这个多变量生成函数的系数，但找不到有价值的东西。你能帮我用 Sagemath 计算系数吗？

注意=我不明白为什么 mathjax 语法在这里不起作用

Answer 1

你可能可以这样做：

R.<a, b, c> = LazyPowerSeriesRing(ZZ)
f = lambda x: (x + x**2)/(1 - (x + x**2))
g = 1/(1 - (f(a) + f(b) + f(c)))
p = g.coefficient(9)
p.coefficient([3, 3, 3])
# Prints 36138, see below for data type discussion.

我用

LazyPowerSeriesRing

来描述生成函数。使用

f

作为帮助程序来节省一些输入，我将

g

定义为您的问题的生成函数（除非我犯了错误）。如果您在问题中为该函数提供了一些实际的 Sage 代码，将会有所帮助。

本系列的

coefficient

方法采用单个整数参数。对于多元序列，该整数是“总”度数。因此，对于 a3b3c3 来说，这将是 9。该调用的结果是一个多项式，其中每个单项式的次数为 9。然后，我从该多项式中提取该特定次数组合的系数。 请注意，

p.coefficient

返回的不是整数（如您所期望的），而是同一多元环的常数多项式。由于某种原因，

monomial_coefficient

似乎没有将学位列表作为参数。另请注意，多项式不定式在技术上与系列中的不定式不同，即使它们都打印为

a

、

b

和

c

。所以你不能写

p.monomial_coefficient(a**3 * b**3 * c**3)

。您可以采取以下方法之一：

aa, bb, cc = p.parent().gens()
p.coefficient(aa**3 * bb**3 * cc**3)             # Same as above, for comparison.
p.monomial_coefficient(aa**3 * bb**3 * cc**3)    # An integer.
p.coefficient([3, 3, 3]).constant_coefficient()  # Again an integer.

您还可以编写自己的便利助手：

def series_coeff(series, monomial):
    p = monomial.polynomial()
    return series.coefficient(p.degree()).monomial_coefficient(p)
series_coeff(g, a**3 * b**3 * c**3)

参考链接：

LazyPower系列戒指
幂级数
• 系数
多项式的系数
单项系数
常数系数