如何计算贝塞尔曲线的面积？

Question

给出以下路径（例如）描述SVG立方贝塞尔曲线：“M300,140C300,40,500,40,500,140”，并假设连接端点300,140到500,140的直线（关闭曲线下面积），是否可能计算如此封闭的面积？

任何人都可以建议一个公式（或JavaScript）来实现这一目标吗？

Answer 1

任意精度的Convert the path to a polygon，然后calculate the area of the polygon。

互动演示：Area of Path via Subdivision

以上演示的核心是使用adaptively subdividing path into a polygon和computing the area of a polygon的函数：

// path:      an SVG <path> element
// threshold: a 'close-enough' limit (ignore subdivisions with area less than this)
// segments:  (optional) how many segments to subdivisions to create at each level
// returns:   a new SVG <polygon> element
function pathToPolygonViaSubdivision(path,threshold,segments){
  if (!threshold) threshold = 0.0001; // Get really, really close
  if (!segments)  segments = 3;       // 2 segments creates 0-area triangles

  var points = subdivide( ptWithLength(0), ptWithLength( path.getTotalLength() ) );
  for (var i=points.length;i--;) points[i] = [points[i].x,points[i].y];

  var doc  = path.ownerDocument;
  var poly = doc.createElementNS('http://www.w3.org/2000/svg','polygon');
  poly.setAttribute('points',points.join(' '));
  return poly;

  // Record the distance along the path with the point for later reference
  function ptWithLength(d) {
    var pt = path.getPointAtLength(d); pt.d = d; return pt;
  }

  // Create segments evenly spaced between two points on the path.
  // If the area of the result is less than the threshold return the endpoints.
  // Otherwise, keep the intermediary points and subdivide each consecutive pair.
  function subdivide(p1,p2){
    var pts=[p1];
    for (var i=1,step=(p2.d-p1.d)/segments;i<segments;i++){
      pts[i] = ptWithLength(p1.d + step*i);
    }
    pts.push(p2);
    if (polyArea(pts)<=threshold) return [p1,p2];
    else {
      var result = [];
      for (var i=1;i<pts.length;++i){
        var mids = subdivide(pts[i-1], pts[i]);
        mids.pop(); // We'll get the last point as the start of the next pair
        result = result.concat(mids)
      }
      result.push(p2);
      return result;
    }
  }

  // Calculate the area of an polygon represented by an array of points
  function polyArea(points){
    var p1,p2;
    for(var area=0,len=points.length,i=0;i<len;++i){
      p1 = points[i];
      p2 = points[(i-1+len)%len]; // Previous point, with wraparound
      area += (p2.x+p1.x) * (p2.y-p1.y);
    }
    return Math.abs(area/2);
  }
}

// Return the area for an SVG <polygon> or <polyline>
// Self-crossing polys reduce the effective 'area'
function polyArea(poly){
  var area=0,pts=poly.points,len=pts.numberOfItems;
  for(var i=0;i<len;++i){
    var p1 = pts.getItem(i), p2=pts.getItem((i+-1+len)%len);
    area += (p2.x+p1.x) * (p2.y-p1.y);
  }
  return Math.abs(area/2);
}

---

以下是原始答案，它使用不同的（非自适应）技术将<path>转换为<polygon>。

Interactive Demo: http://phrogz.net/svg/area_of_path.xhtml

上面的演示使用了approximating a path with a polygon和computing the area of a polygon的函数。

// Calculate the area of an SVG polygon/polyline
function polyArea(poly){
  var area=0,pts=poly.points,len=pts.numberOfItems;
  for(var i=0;i<len;++i){
    var p1 = pts.getItem(i), p2=pts.getItem((i+len-1)%len);
    area += (p2.x+p1.x) * (p2.y-p1.y);
  }
  return Math.abs(area/2);
}

// Create a <polygon> approximation for an SVG <path>
function pathToPolygon(path,samples){
  if (!samples) samples = 0;
  var doc = path.ownerDocument;
  var poly = doc.createElementNS('http://www.w3.org/2000/svg','polygon');

  // Put all path segments in a queue
  for (var segs=[],s=path.pathSegList,i=s.numberOfItems-1;i>=0;--i)
    segs[i] = s.getItem(i);
  var segments = segs.concat();

  var seg,lastSeg,points=[],x,y;
  var addSegmentPoint = function(s){
    if (s.pathSegType == SVGPathSeg.PATHSEG_CLOSEPATH){

    }else{
      if (s.pathSegType%2==1 && s.pathSegType>1){
        x+=s.x; y+=s.y;
      }else{
        x=s.x; y=s.y;
      }          
      var last = points[points.length-1];
      if (!last || x!=last[0] || y!=last[1]) points.push([x,y]);
    }
  };
  for (var d=0,len=path.getTotalLength(),step=len/samples;d<=len;d+=step){
    var seg = segments[path.getPathSegAtLength(d)];
    var pt  = path.getPointAtLength(d);
    if (seg != lastSeg){
      lastSeg = seg;
      while (segs.length && segs[0]!=seg) addSegmentPoint( segs.shift() );
    }
    var last = points[points.length-1];
    if (!last || pt.x!=last[0] || pt.y!=last[1]) points.push([pt.x,pt.y]);
  }
  for (var i=0,len=segs.length;i<len;++i) addSegmentPoint(segs[i]);
  for (var i=0,len=points.length;i<len;++i) points[i] = points[i].join(',');
  poly.setAttribute('points',points.join(' '));
  return poly;
}

Answer 2

我犹豫是要发表评论或完整回复。但是，简单的谷歌搜索“区域贝塞尔曲线”导致前三个链接（第一个是同一个帖子），在：

http://objectmix.com/graphics/133553-area-closed-bezier-curve.html（archived）

使用发散定理提供封闭形式的解决方案。我很惊讶OP没有找到这个链接。

如果网站出现故障，请复制文本，并将回复的作者Kalle Rutanen记入帐户：

一个有趣的问题。对于2D中的任何分段可微曲线，以下一般过程为您提供曲线/曲线系列内的区域。对于多项式曲线（贝塞尔曲线），您将获得闭合形式的解。

设g（t）为分段可微曲线，0 <= t <= 1.g（t）顺时针定向，g（1）= g（0）。

设F（x，y）= [x，y] / 2

然后div（F（x，y））= 1，其中div表示发散。

现在，散度定理给出了闭合曲线g（t）内的区域作为沿曲线的线积分：

int（点（F（g（t）），perp（g'（t）））dt，t = 0..1）=（1/2）* int（点（g（t），perp（g'） （t）））dt，t = 0..1）

perp（x，y）=（ - y，x）

其中int用于集成，'用于区分，点用于点积。必须将积分拼接到与平滑曲线段对应的部分。

现在举个例子。取Bezier度3和一个这样的曲线与控制点（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）。该曲线的积分是：

I：= 3/10 * y1 * x0 - 3/20 * y1 * x2 - 3/20 * y1 * x3 - 3/10 * y0 * x1 - 3/20 * y0 * x2 - 1/20 * y0 * x3 + 3/20 * y2 * x0 + 3/20 * y2 * x1 - 3/10 * y2 * x3 + 1/20 * y3 * x0 + 3/20 * y3 * x1 + 3/10 * y3 * x2

为序列中的每条曲线计算并加起来。总和是曲线包围的区域（假设曲线形成一个循环）。

如果曲线只包含一条贝塞尔曲线，那么它必须是x3 = x0和y3 = y0，并且面积为：

面积：= 3/20 * y1 * x0 - 3/20 * y1 * x2 - 3/20 * y0 * x1 + 3/20 * y0 * x2 - 3/20 * y2 * x0 + 3/20 * y2 * x1

希望我没有犯错误。

- Kalle Rutanen http://kaba.hilvi.org

Answer 3

首先，我对bezier曲线并不那么熟悉，但我知道它们是连续的函数。如果确保三次曲线不与自身相交，则可以在给定的封闭域（[ab]）上将其以闭合形式（我的意思是使用解析积分）进行积分，并减去由末端形成的三角形区域。连接直线和X轴。如果与Bezier曲线和末端连接直线相交，您可以分成几个部分并尝试以一致的方式分别计算每个区域。

对我来说，合适的搜索词是“连续函数积分”“积分”“函数下的区域”“微积分”

当然，您可以从贝塞尔曲线fn生成离散数据，并获得离散的X-Y数据并近似计算积分。

Answer 4

我喜欢Phrogz接受的答案中的解决方案，但我也看得更远，并找到了一种方法，使用CompoundPath类和area属性对Paper.js做同样的事情。 See my Paper.js demo。

使用阈值0时，结果（表面积= 11856）与Phrogz's demo完全相同，但处理速度似乎更快！我知道加载Paper.js只是为了计算表面积是有点过头了，但是如果你正在考虑实现一个框架或者想要调查Paper.js是如何做到的那样......

Answer 5

我有同样的问题，但我没有使用JavaScript，所以我不能使用@Phrogz接受的答案。 此外，在接受的答案中使用的SVGPathElement.getPointAtLength()根据Mozilla弃用。

当用点qazxsw poi，qazxsw poi，qazxsw poi和qazxsw poi描述Bézier曲线时（其中(x0/y0)是起点，(x1/y1)是终点），你可以使用参数化形式：

(x2/y2)（来源：(x3/y3)）

B（t）是Bézier曲线上的点，Pi是Bézier曲线定义点（见上文，P0是起点，......）。 t是0≤t≤1的运行变量。

这种形式可以很容易地逼近Bézier曲线：您可以使用t = i / npoints生成任意多个点。 （请注意，您必须添加起点和终点）。结果是一个多边形。然后你可以使用(x0/y0)（就像@Phrogz在他的解决方案中所做的那样）来计算面积。请注意，对于鞋带公式，点的顺序很重要。通过使用t作为参数，订单将始终是正确的。

(x3/y3)

为了匹配这里的问题，代码片段中的交互式示例也是用javascript编写的。这可以用于其他语言。它不使用任何javascript（或svg）特定命令（图纸除外）。请注意，这需要支持HTML5的浏览器才能工作。

Wikipedia

Answer 6

shoelace formular