我正在使用有限元方法来计算通过单元的热流。我目前坚持求解方程组,在方程组的两边都有变量。一个简单的例子可能是这样的
| 1 -1 0| |100 | |q1|
|-1 2 -1| . | T2 | = |0 |
| 0 -1 1| | 0 | |q3|
我正在考虑使用的方法是将矩阵减小为2x2,因为已知温度为“ T1”,并相应地更改右侧。并继续在“ T3”行中进行相同的操作。但是,我的顾问一直在建议我这样做。
您将如何解决这样的系统?
执行此操作的另一种方法是创建一个置换矩阵,以从向量中提取已知行和未知行。这种方法稍微复杂一点,但是对程序员更友好:
说出你的情商。系统是:
K . T = Q
其中K
为3x3
,T
和Q
为3x1
向量。您可以通过以下方式创建置换Pf
矩阵:将其乘以T
时,结果是T
矩阵的未知部分(仅为T2),在您的情况下,置换矩阵将是1x3
矩阵:
Pf = [0 1 0]
|100|
Tf = Pf * T = [0 1 0]* |T2 | = [T2]
|0 |
另一个置换矩阵将从T
矩阵中获得已知部分,在您的情况下,它将是2x3
矩阵:
| 1 0 0|
Ps = | 0 0 1|
Ts = Ps * T = | 1 0 0| |100| |100|
| 0 0 1| *| T2| = |0 |
|0 |
现在一切就绪,您可以假设系统是这样的:
K . T = Q
K = |Kff Kfs|
|Kfs Kss|
Q = |Qf|
|Qs|
T = |Tf|
|Ts|
其中f
是未知右侧的前缀,s
前缀是已知右侧的前缀。您可以找到Pf
,Ps
,Qf
,Qs
,Kff
,Kfs
,Ksf
和Kss
,如下所示:
Tf = Pf * T
Tq = Ps * T
Qf = Pf * Q
Qq = Ps * Q
Kff = pf * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kfs = pf * K * ps` (note: ` denotes the transpose)
Ksf = ps * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kss = ps * K * ps` (note: ` denotes the transpose)
现在需要找到未知向量Tf
和Qs
:
K . T = Q
|Kff Kfs| |Tf| = |Qf|
|Kfs Kss| |Ts| |Qs|
表示:
Kff * Tf + Kfs * Ts = Qf
Kfs * Tf + Kss * Ts = Qs
从第一个开始:
Tf = Kff^-1 * (Qf - Kfs * Ts)
使用上述方程式,您可以找到Tf(请注意,所有右侧都是已知的矩阵和向量,因此需要执行数字运算)
以及从第二个开始:
Qs = Kfs * Tf + Kss * Ts
以这种方式找到Qs
和Tf
。找到Tf
和Qs
后,就可以形成原始的T
和Q
矩阵:
Q = Ps` * Qs + Pf` * Qf
T = Ps` * Ts + Pf` * Tf
我会写下您的线性方程并对其进行整形,以使您只有一个带有未知变量的向量。例如,您上面的方程系统等于:
可以重写:
产生到:
| -1 -1 0| | T2 | | 100 |
| 2 0 0| . | q1 | = | 100 |
| -1 0 -1| | q3 | | 0 |