加权图的BFS算法 - 求最短距离

Question

我已经看过很多关于这个主题的帖子（即post1，post2，post3），但是这些帖子都没有提供备份相应查询的算法。因此，我不确定接受这些帖子的答案。 在这里，我提出了一个基于BFS的最短路径（单源）算法，适用于非负加权图。任何人都可以帮助我理解为什么BFS（根据以下基于BFS的算法）不用于此类问题（涉及加权图）！

算法：

SingleSourceShortestPath (G, w, s):
    //G is graph, w is weight function, s is source vertex
    //assume each vertex has 'col' (color), 'd' (distance), and 'p' (predecessor) 
        properties

    Initialize all vertext's color to WHITE, distance to INFINITY (or a large number
        larger than any edge's weight, and predecessor to NIL
    Q:= initialize an empty queue

    s.d=0
    s.col=GREY     //invariant, only GREY vertex goes inside the Q
    Q.enqueue(s)  //enqueue 's' to Q

    while Q is not empty
        u = Q.dequeue()   //dequeue in FIFO manner
        for each vertex v in adj[u]  //adj[u] provides adjacency list of u
             if v is WHITE or GREY       //candidate for distance update
                  if u.d + w(u,v) < v.d        //w(u,v) gives weight of the 
                                               //edge from u to v
                      v.d=u.d + w(u,v)
                      v.p=u
                      if v is WHITE
                          v.col=GREY    //invariant, only GREY in Q
                          Q.enqueue(v)
                      end-if
                  end-if
              end-if
         end-for
         u.col=BLACK  //invariant, don't update any field of BLACK vertex.
                      // i.e. 'd' field is sealed 
    end-while

运行时：据我所知，它是包含初始化成本的O（| V | + | E |）

如果此算法类似于任何现有算法，请告诉我

Answer 1

由于伪代码是Dijksta的算法，其FIFO队列而不是优先级队列，总是根据距离进行排序。到目前为止，每个访问过的（黑色）顶点计算出的最短距离的关键不变量不一定正确。这就是为什么优先级队列是（正）加权图中距离计算必须的原因。

您可以将算法用于未加权的图形，或者通过用权重为n替换每个边缘并使用由权重为1的边连接的n-1顶点来使其未加权。

反例：

第一次Q.enqueue(s)之后的计算状态：

第一次迭代后的计算状态：

重要的是，这个图是一个反例是adj[u] = adj[S] = [F, M]而不是[M, F]，因此F首先由Q.enqueue(v)排队

第二次迭代后的计算状态：

由于顶点F首先由u = Q.dequeue()出列（与使用距离优先级队列时不同），此迭代不会更新任何距离，F将变为黑色并且将违反不变量。

最后一次迭代后的计算状态：

Answer 2

看起来你实现了Dijkstra的经典算法，没有堆。您将通过每个边缘的矩阵，然后查看是否可以改善距离。

Answer 3

我曾经有同样的困惑。查看SPFA算法。当作者在1994年发表这个算法时，他声称它具有比Dijkstra更好的性能，具有O（E）复杂性，这是错误的。

您可以将此算法视为Bellman-Ford的变体/改进。最坏情况复杂性仍然是O（VE），因为一个节点可以多次从队列中添加/删除。但是对于随机稀疏图，它绝对优于原始的Bellman-Ford，因为它跳过了许多不必要的放松步骤。

尽管这个名称“SPFA”在学术界似乎并未被广泛接受，但由于其简单易用，因此在ACM学生中非常受欢迎。表现明智的Dijkstra是首选。