如何判断一个点在线段的左侧还是右侧？

Question

如果我们有一个线段(A.x, A.y, B.x, B.y)和一个点(C.x, C.y)，我如何分辨该点在该线段的左侧还是右侧，顶部还是底部？我尝试过以前文章中涉及跨产品的解决方案，但这使我遇到了另一个问题。使用叉积使得A和B的顺序重要。还有什么其他方法可以使A和B的顺序无关紧要？

以前帖子的解决方案：

使用向量的行列式（AB，AM）的符号，其中M（X，Y）是查询点：

position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))

在线上为0，一侧为+1，另一侧为-1。

来源：How to tell whether a point is to the right or left side of a line

Answer 1

（（我假设笛卡尔坐标系的正x和y分别指向右边和上面）

给出一条通过点（a，b），（c，d）的线，其方程为：

现在您有一个要点（e，f）。如果用x = e，y = f代替，并且它们满足方程式，则表示该点在直线上。如果方程式的左侧较大，则意味着您的点在直线的左/上。如果方程式的右侧较大，则意味着您的点在直线的右侧/底部。

请注意，在特殊情况下，您需要处理垂直线。

在Java中，

double lhs = e;
double gradient = (b - d)/(a - c);
if (Double.isInfinite(gradient)) {
    // vertical line, compare only x coordinates
    if (e < a) {
        // on the left
    } else if (e > a) {
        // on the right
    } else {
        // on the line
    }
}
double rhs = (gradient * (e - a)) + b;
if (lhs > rhs) {
    // on the left/top
} else if (lhs < rhs) {
    // on the right/bottom
} else {
    // on the line
}

为了证明重新排列点的顺序不会改变结果，这非常简单。更改点的顺序会生成此等式（a更改为c，b更改为d）：

如果同时展开上面的方程式和一个方程式，您将发现它们实际上是相同的方程式，即：