将B点移动到A和C之间，同时保持距离

Question

我正在寻找一种方法来尝试执行此更改：

A 和 C 是固定的 3D 点。然后应移动 B，以便 AtoB 和 CtoB 具有它们以前的平均距离。

听起来微不足道，但到目前为止我得到的最好的结果是，如果执行多次，最终会翻转点并且有些平均。

    Vector3 dir_a = B - A;
    Vector3 dir_b = B - C;

    float averageDistance = (dir_a.magnitude + dir_b.magnitude) / 2;

    dir_a.Normalize();
    dir_b.Normalize();

    B -= (averageDistance) * (dir_a + dir_b);

有人有正确方向的提示吗？

Answer 1

这有点模棱两可，因为通常有一整套有效的解决方案，但我们可以选择一个接近原始 B 的点（其中有一个问题，我在最后解决）。一种方法是在 A 和 C 之间创建一个垂直于 A 和 C 之间的线的平面，然后从该线与该平面的交点开始，朝 B 移动，同时停留在平面上 直到距离是对的。顺便说一句，没有搜索，我们只需计算所需的半径即可：我们将有一个直角三角形，其中给定了底边，我们需要选择一个高度，使斜边具有所需的长度。 像这样：

    Vector3 dir_a = B - A;
    Vector3 dir_b = B - C;
    float avg_d = (dir_a.Length() + dir_b.Length()) / 2;
    // axis is the normal vector of the plane between A and C
    // perpendicular to the line between A and C
    Vector3 axis = Vector3.Normalize(C - A);
    // point halfway between A and C,
    // will be the origin of the circle on which the result lies,
    // and it will be where the right angle of the right angle triangle is
    Vector3 midpoint = (A + C) / 2;
    Vector3 mid_to_b = B - midpoint;
    // project mid_to_B onto the plane and normalize,
    // forming the direction of the height of the triangle (radius of the circle)
    Vector3 dir = Vector3.Normalize(mid_to_b - Vector3.Dot(axis, mid_to_b) * axis);
    // the triangle should satisfy:
    // height² + base² = avg_d²
    // where the base is the distance between the midpoint and C (or A, same thing)
    // solving for height:
    // height² = avg_d² - base²
    // height = sqrt(avg_d² - base²)
    float axis_length2 = (C - midpoint).LengthSquared();
    float height = MathF.Sqrt(avg_d * avg_d - axis_length2);
    // go from the midpoint in the right direction for the distance we just calculated:
    Vector3 result = midpoint + dir * height;

请注意，如果 A、B 和 C 共线，则此方法不起作用。如果您关心这一点，您可以检测到这一点，并在这种情况下尝试使用另一个向量而不是 

mid_to_b

。由于此方法尝试沿 B 方向行进，因此如果该方向垂直于平面，则不可能进行任何移动。

dir

可能会变成 NaN 或（由于浮点的东西使得向量被归一化为

几乎

零而不是实际零）一些不是特别有用的方向。 您可以使用与

axis

正交的任何方向，即

Vector3 dir = Vector3.Normalize(Orthogonal(axis))

，您可以获得像这样的一些正交向量：（如果您对获得的方向不是非常挑剔，只是它是正交的，在这里我选择最长的选项主要是为了避免意外得到零向量）

    static Vector3 Orthogonal(Vector3 dir)
    {
        Vector3 A = new Vector3(0, dir.Z, -dir.Y);
        Vector3 B = new Vector3(-dir.Z, 0, dir.X);
        Vector3 C = new Vector3(-dir.Y, dir.X, 0);
        float lenA = A.LengthSquared();
        float lenB = B.LengthSquared();
        float lenC = C.LengthSquared();
        if (lenA > lenB) 
        {
            // make B the largest vector among A and B
            B = A;
            lenB = lenA;
        }
        // now one of B or C must be the longest
        if (lenB > lenC)
            return B;
        else
            return C;
    }

使用它更稳健，但是：

这个方向与 B 无关，将新点发送到与 B 无关的某个方向，B 唯一的用途就是最初找到

avg_d
• 。这会花费更多的代码/复杂性/可能还需要时间。