我最近遇到了这个问题:
存在一个通过任意两个或多个连续自然数相乘形成的(递增)排序数组。
2, 6, 12, 20, 24, 30, 42, 56, 60, 72 ...
例如。 2 由两个连续的自然数 1 和 2 组成:2 = 1×2。 6 = 2×3 或 1×2×3, 20 = 4×5。
如果给定 n 作为参数,则从上面的数组中找到第 n 个数字并返回。
限制
- 1 ≤ n ≤ 1000000
仅当答案小于 10- 12 时才给出n
所以在这里我能够找到O(n2)的解决方案,但我想知道是否有更好的解决方案。
我的O(n2)JS解决方案:
function solution(n) {
// Find all possible product subsets of [1, ..., n] = [1x2, 2x3, 4x5, ..., 1x2x...xn]
// return Nth index of this product subset array
// 1 ~ n+1 array
const nums = Array.from({ length: n+1 }, (_, i) => i + 1);
const set = new Set();
// Find all possible product subsets
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
let accu = 1;
for (let j = i; j < nums.length; j++) {
accu *= nums[j];
if (i !== j) set.add(accu);
}
}
// Sort and return n-1 index value
return Array.from(set).sort((a,b) => a - b)[n-1];
}
感谢您的帮助:)
以下实现基于最小堆(C++ 中的
std::priority_queue
),它会记住“最佳”的未来候选者。
重要的一点是要以不同的方式对待基本解决方案
k *(k+1)
。由于这些数字可能占大多数,因此可以大大减小堆的大小。
在每个给定时间,我们要么决定使用
k(k+1)
数字,要么使用最小堆的当前顶部值。
每个使用的值都会导致在最小堆中插入一个新的候选值。
另一个方面是只在堆中插入小于估计最大值的值,
n(n+1)
。
复杂度估计为 O(n log M),其中 M 是堆的平均大小。
对于
n = 10^6
,程序测量到堆的最大大小等于 9998,远小于 n
。
在我的电脑上,我在 11 毫秒内得到了
n = 10^6
的结果。结果:977410038240
这是 C++ 代码。
这段代码记住了所有的顺序,主要是为了调试。实际上,如果我们只需要第n个值,就可以避免这样的记忆。如果效率仍然是一个问题,则也可以删除最大堆(对调试有用)大小的测量。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <chrono>
template <typename T>
void print (const std::vector<T> &A , const std::string &s = "") {
std::cout << s;
for (const T& val: A) {
std::cout << val << " ";
}
std::cout << "\n";
}
struct Prod {
long long p; // product
int last; // last integer in the product
};
long long int consecutive_products (int n) {
std::vector<long long> products; // not strictly needed, for debugging
products.reserve(n);
products.push_back (2); products.push_back (6);
long long max_val = (long long) n * (n+1);
auto comp = [] (const Prod& x1, const Prod& x2) {
if (x1.p == x2.p) return x1.last > x2.last;
return x1.p > x2.p;
};
std::priority_queue<Prod, std::vector<Prod>, decltype(comp)> candidates(comp);
if (n <= 2) return products[n-1];
candidates.push ({24, 4}); // 2*3*4 -> extension of 2*3
long long int prod_simple = 12; // = 3*4 - simple products k(k-1) are dealt with differently
int rank_simple = 4;
int index = 2;
long long current_val = products[index - 1];
Prod best;
long long minval;
int max_size = 0;
while (index < n) {
if (candidates.empty()) {
minval = max_val;
} else {
best = candidates.top();
minval = best.p;
}
if (minval <= prod_simple) {
candidates.pop();
long long new_product = minval * (best.last + 1);
if (new_product < max_val) {
candidates.push ({new_product, best.last + 1});
}
} else {
minval = prod_simple;
long long new_product = prod_simple * (rank_simple + 1);
if (new_product < max_val) {
candidates.push ({new_product, rank_simple + 1});
}
prod_simple = (long long) rank_simple * (rank_simple + 1);
rank_simple++;
}
if (minval > current_val) {
products.push_back(minval);
current_val = minval;
index++;
}
int size = candidates.size();
if (size > max_size) max_size = size;
}
if (n <= 20) print (products, "Products: ");
std::cout << "max heap size = " << max_size << std::endl;
return minval;
}
int main() {
int n;
std::cout << "Enter n: ";
std::cin >> n;
auto t1 = std::chrono::high_resolution_clock::now();
auto ans = consecutive_products (n);
auto t2 = std::chrono::high_resolution_clock::now();
std::cout << ans << std::endl;
auto duration = std::chrono::duration_cast<std::chrono::microseconds>( t2 - t1 ).count();
std::cout << "duration = " << duration << " micro-s" << std::endl;
return 0;
}
import heapq
def factorial(x):
fact = 1
for i in range(1, x + 1):
fact *= i
return fact
def nth_number(k):
heap = [(2, 1, 2)]
heapq.heapify(heap)
size_fact = 2
cur_factorial = factorial(size_fact)
cur_number = -1
i = 1
while i <= k:
x_number, start_from, size = heapq.heappop(heap)
if x_number > cur_number:
if x_number == cur_factorial:
# Insert the next factorial as well
size_fact += 1
cur_factorial = factorial(size_fact)
heapq.heappush(heap, (cur_factorial, 1, size_fact))
cur_number = x_number
i += 1
heapq.heappush(heap, (x_number / start_from * (start_from + size), start_from + 1, size))
return cur_number
# Test the function
print(int(nth_number(4))) # Output the 10th number in the sequence