R 中带约束的优化问题：如何解决“复杂”对数效益函数的问题？

Question

我有以下优化问题：

Maximisise combined benefit functions

F(x) = 2*10^9 + 160*x - 7*x*ln(x) 
F(y) = 3*10^9 + 170*y - 7.5*y*ln(y)

subject to 

x + y <= 3*10^9
x,y >= 0

我建立了拉格朗日

L(x,y,λ) = F(x) + F(y) + λ(3*10^9-(x+y))

然后我用代数方法减少了它，然后用图形计算器解决了它

y = 3*10^9 - x  
e^(19/15)*x^(14/15) + x - 3*10^9 = 0
y^(15/14) + e^(19/14)*y - e^(19/14)*3*10^9 = 0

x = 1.61 * 10^9
y = 1.39 * 10^9

现在，我希望能够在 R 中实现这个解决方案，因为实际的函数参数可能会改变。我尝试过调整我在网上找到的一些不同的解决方案，但似乎都不起作用。

如果我正确理解问题，我需要一个非线性求解器。因此，我在

Rsolnp

中设置了这个问题（受到这个答案的启发）：

library(Rsolnp)

opt_func_log <- function(x) {
  a <- x[1] 
  b <- x[2] 
  
  ben_func <-  2e9 + 160*a - 7*a*log(a) + 3e9 + 170*b - 7.5*b*log(b)
  
  -ben_func #invert to find minimum
}

equal_const <- function(x) {
  a <- x[1] 
  b <- x[2] 
  
  a + b # budget constraint formula
  
}

eps <- .Machine$double.eps*10^2 # low number, but not zero due to logs
x0 <- c(0.1, 0.1) # starting values
budget <- 3e9 # overall budget constraint value

opt_solution_log <- solnp(pars = x0,
                          fun = opt_func_log,
                          eqfun = equal_const,
                          eqB = budget,
                          LB = c(eps,eps))

不幸的是我没有找到可行的解决方案

Iter: 1 fn: -5032442923.2173     Pars:  213333.43335 213333.43335
solnp-->Redundant constraints were found. Poor
solnp-->intermediate results may result.Suggest that you
solnp-->remove redundant constraints and re-OPTIMIZE

Iter: 2 fn: -5032442923.2173     Pars:  213333.43335 213333.43335
solnp--> Solution not reliable....Problem Inverting Hessian.

我做错了什么？这个问题中什么约束是多余的？我是否错误地定义了问题，或者只是通过这种方式无法解决？

Answer 1

我不知道你正在使用的软件包，但我尝试了基本R

foo <- function(x) {
   big_number <- 10^12
  -(
    2*10^9 + 160*x[1] - 7*x[1]*log(x[1])  + 
    3*10^9 + 170*x[2] - 7.5*x[2]*log(x[2])
  ) + 
    if (sum(x) > 3*10^9) big_number else 0 
}
init <- c(1 * 10^9, 2 * 10^9)
optim(par = init, fn = foo)

# $par
# [1] 1610058872 1389941050
# 
# $value
# [1] -40508596398
# ...