在python中，如何获得三个或更多圆的交点，有无错误

Question

给三个圆圈作为

(x - x1)**2 + (y - y1)**2 = r1**2
(x - x2)**2 + (y - y2)**2 = r2**2
(x - x3)**2 + (y - y3)**2 = r3**2

我如何在python中找到三个圆的交点（x，y）？更精确地讲，即使三个圆不是在一个点上精确地相交而又没有一个相交，这怎么会变得健壮呢？

我已经尝试过使用scipy中的least_squares，但我不确定它是否正常工作，因为即使圆圈实际上在一个点处截距，它也会给出另一个结果。

def intersectionPoint(p1,p2,p3):

    x1, y1, dist_1 = (p1[0], p1[1], p1[2])
    x2, y2, dist_2 = (p2[0], p2[1], p2[2])
    x3, y3, dist_3 = (p3[0], p3[1], p3[2])

    def eq(g):
        x, y, r = g

        return (
            (x - x1)**2 + (y - y1)**2 - (dist_1 - r )**2,
            (x - x2)**2 + (y - y2)**2 - (dist_2 - r )**2,
            (x - x3)**2 + (y - y3)**2 - (dist_3 - r )**2)

    guess = (100, 100, 0)

    ans = scipy.optimize.least_squares(eq, guess)

    return ans

ans = intersectionPoint((0,0,9962),(7228,0,9784),(4463,3109,6251))

Answer 1

虽然可以使用least_squares解决此问题，但是代码中需要更改一些内容。

• eq函数仅应将点（x，y）作为参数，因为您正在寻找相交点。
• 每个圆的返回值应该为(x - x1)**2 + (y - y1)**2 - dist_1**2（这是到圆的距离的平方）。
• 对least_squares的调用应使用一些其他参数来避免误报，即ftol=None, xtol=None。请参考the docs了解这些参数的作用。它们避免了因成本函数的变化和自变量的变化而终止。
• 我会将猜测更改为第一个圆上的一个点，以便算法从相关区域开始guess = (x1, y1 + dist_1)

当然，不要忘了检查success属性以检查算法是否收敛！

该代码将变为：

from scipy.optimize import least_squares

def intersectionPoint(p1,p2,p3):

    x1, y1, dist_1 = (p1[0], p1[1], p1[2])
    x2, y2, dist_2 = (p2[0], p2[1], p2[2])
    x3, y3, dist_3 = (p3[0], p3[1], p3[2])

    def eq(g):
        x, y = g

        return (
            (x - x1)**2 + (y - y1)**2 - dist_1**2,
            (x - x2)**2 + (y - y2)**2 - dist_2**2,
            (x - x3)**2 + (y - y3)**2 - dist_3**2)

    guess = (x1, y1 + dist_1)

    ans = least_squares(eq, guess, ftol=None, xtol=None)

    return ans

ans = intersectionPoint((0,0,1),(2,0,1),(1,-1,1))