用python进行电位数值微分

Question

我用下面的代码来获得四极电位的电场。

for n in range (nx-1):
  for m in range (ny-1):
   for k in range (nz-1):
     Ex[n,m,k] =-( (T[n+1,m,k]-T[n,m,k]) )/((x[n+1]-x[n]));
     Ey[n,m,k] =-( (T[n,m+1,k]-T[n,m,k]) )/((y[m+1]-y[m]));
     Ez[n,m,k] =-( (T[n,m,k+1]-T[n,m,k]) )/((z[k+1]-z[k]));
     return Ex,Ey,Ez, T

这里T是通过数值求解拉普拉斯方程得到的3D电位，从图中可以看出红色电极（正）有错误的电场矢量方向（顶部电极的右上侧和右下侧）同样的错误也在其他电极中。即，负电极具有必须是相反方向的输出电场矢量。

我也使用中央差异法，但我得到相同的数字。你能告诉我我的差异化有什么问题吗？

Answer 1

你的问题在于matplotlib解释方向的方式，它本身源于矩阵常规索引的方式，这与许多人（比如我自己）的想法相反。具体来说，第一个索引是垂直索引，而第二个索引是水平索引。如果你使用了一个非正方形数组，这可能会很清楚，这可能会显示你的x和y是倒退的。以下示例说明了渐变（仅略微修改）如何给出正确的结果。第一个图显示了您实际绘制的内容，其中交换了渐变的x和y分量。图（你可以通过运行它获得）表明梯度不是与轮廓线正交（因为它必须是），有时会走错方向。

第二个和第三个数字都显示了一个正确的方法来绘制渐变使用漂亮的方法，我们有坐标的2D数组以及我们正在绘制的东西（无论是quiver还是contour）。我按照你的代码使用meshgrid生成我的X和Y，但需要将参数交换到meshgrid以获得正确的维度。更简洁的方法是使用相同的编码样式来生成坐标，就像绘制的东西一样，在这种情况下，具有显式索引的while循环将是最佳的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-3,3,0.2)
y = np.arange(-5,5,0.2)
z = np.arange(-5,5,0.2)

def grad(f):
    gx = np.zeros_like(f)
    gy = np.zeros_like(f)
    gz = np.zeros_like(f)
    for n in range(1,len(x)-1):
        for m in range(1,len(y)-1):
            for k in range(1,len(z)-1):
                gx[n,m,k] = (T[n+1,m,k]-T[n-1,m,k])/(x[n+1]-x[n-1]);
                gy[n,m,k] = (T[n,m+1,k]-T[n,m-1,k])/(y[m+1]-y[m-1]);
                gz[n,m,k] = (T[n,m,k+1]-T[n,m,k-1])/(z[k+1]-z[k-1]);
    return gx, gy, gz

T = np.zeros((len(x), len(y), len(z)))
for n in range(len(x)):
    for m in range(len(y)):
        for k in range(len(z)):
            T[n,m,k] = np.sin((x[n] - y[m])/3.0) + 0.3*np.cos(y[m]) + z[k]**2

gx,gy,gz = grad(T)

Y, X= np.meshgrid(y,x)

plt.figure('WRONG with x and y')
plt.contour(y, x, T[:,:,round(len(z)/2)], 64)
plt.colorbar()
plt.quiver(y, x, 10*gx[:,:,round(len(z)/2)], 10*gy[:,:,round(len(z)/2)])
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.axes().set_aspect('equal')


plt.figure('with X and Y')
plt.contour(X, Y, T[:,:,round(len(z)/2)], 64)
plt.colorbar()
plt.quiver(X, Y, 10*gx[:,:,round(len(z)/2)], 10*gy[:,:,round(len(z)/2)])
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.axes().set_aspect('equal')

plt.figure('with Y and X')
plt.contour(Y, X, T[:,:,round(len(z)/2)], 64)
plt.colorbar()
plt.quiver(Y, X, 10*gy[:,:,round(len(z)/2)], 10*gx[:,:,round(len(z)/2)])
plt.xlabel("Y")
plt.ylabel("X")
plt.axes().set_aspect('equal')

plt.show()

最后，我再次指出，揭示这个bug最干净的方法就是用nx != ny来运行你的程序。代码将失败并显示一条错误消息，表明数组维度不匹配，这会导致您以正确的方式交换（希望）周围的事情。