根据（进一步）证明证明类型相等

Question

假设我们想在minuss上有一个“适当的”Nat，需要m <= n才能使n `minus` m有意义：

%hide minus

minus : (n, m : Nat) -> { auto prf : m `LTE` n } -> Nat
minus { prf = LTEZero } n Z = n
minus { prf = LTESucc prevPrf } (S n) (S m) = minus n m

现在让我们试着证明以下引理，说明(n + (1 + m)) - k = ((1 + n) + m) - k，假设双方都有效：

minusPlusTossS : (n, m, k : Nat) ->
                 { auto prf1 : k `LTE` n + S m } ->
                 { auto prf2 : k `LTE` S n + m } ->
                 minus (n + S m) k = minus (S n + m) k

目标表明以下的困境可能会有所帮助：

plusTossS : (n, m : Nat) -> n + S m = S n + m
plusTossS Z m = Refl
plusTossS (S n) m = cong $ plusTossS n m

所以我们尝试使用它：

minusPlusTossS n m k =
  let tossPrf = plusTossS n m
  in rewrite tossPrf in ?rhs

在这里我们失败了：

When checking right hand side of minusPlusTossS with expected type
        minus (n + S m) k = minus (S n + m) k

When checking argument prf to function Main.minus:
        Type mismatch between
                LTE k (S n + m) (Type of prf2)
        and
                LTE k replaced (Expected type)

        Specifically:
                Type mismatch between
                        S (plus n m)
                and
                        replaced

如果我正确理解了这个错误，那只是意味着它试图将目标相等的RHS（即minus { prf = prf2 } (S n + m) k）重写为minus { prf = prf2 } (n + S m) k并失败。当然，正确地说，因为prf证明了不同的不平等！虽然replace可以用来生成(S n + m) k的证明（或prf1也可以），但看起来不可能同时重写和更改证明对象以使其与重写相匹配。

我该如何解决这个问题？或者，更一般地说，我如何证明这个引理？

Answer 1

好的，我想我解决了。一句话：如果你不知道该怎么做，那就做一个引理吧！

因此，我们有两个muexswpoi相等的证明，我们需要生成n1, n2证明。让我们写下来吧！

n1 `minus` m = n2 `minus` m

我甚至不再需要

minusReflLeft : { n1, n2, m : Nat } -> (prf : n1 = n2) -> (prf_n1 : m `LTE` n1) -> (prf_n2 : m `LTE` n2) -> n1 `minus` m = n2 `minus` m
minusReflLeft Refl LTEZero LTEZero = Refl
minusReflLeft Refl (LTESucc prev1) (LTESucc prev2) = minusReflLeft Refl prev1 prev2

，可以用更直接适用的引理代替：

plusTossS

在那之后，原来的变得微不足道：

plusRightS : (n, m : Nat) -> n + S m = S (n + m)
plusRightS Z m = Refl
plusRightS (S n) m = cong $ plusRightS n m