尾递归究竟是如何工作的?

问题描述 投票:118回答:8

我几乎理解尾递归是如何工作的以及它与正常递归之间的区别。我只是不明白为什么它不需要堆栈来记住它的返回地址。

// tail recursion
int fac_times (int n, int acc) {
    if (n == 0) return acc;
    else return fac_times(n - 1, acc * n);
}

int factorial (int n) {
    return fac_times (n, 1);
}

// normal recursion
int factorial (int n) {
    if (n == 0) return 1;
    else return n * factorial(n - 1);
}

在尾递归函数中调用函数本身后无事可做,但对我来说没有意义。

c algorithm recursion tail-recursion
8个回答
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编译器只能转换它

int fac_times (int n, int acc) {
    if (n == 0) return acc;
    else return fac_times(n - 1, acc * n);
}

进入这样的事情:

int fac_times (int n, int acc) {
label:
    if (n == 0) return acc;
    acc *= n--;
    goto label;
}

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你问为什么“它不需要堆栈来记住它的返回地址”。

我想转过身来。它确实使用堆栈来记住返回地址。诀窍在于尾递归发生的函数在堆栈上有自己的返回地址,当它跳转到被调用函数时,它会将其视为自己的返回地址。

具体而言,没有尾调用优化:

f: ...
   CALL g
   RET
g:
   ...
   RET

在这种情况下,当调用g时,堆栈将如下所示:

   SP ->  Return address of "g"
          Return address of "f"

另一方面,尾部调用优化:

f: ...
   JUMP g
g:
   ...
   RET

在这种情况下,当调用g时,堆栈将如下所示:

   SP ->  Return address of "f"

显然,当g返回时,它将返回到调用f的位置。

编辑:上面的例子使用一个函数调用另一个函数的情况。当函数调用自身时,机制是相同的。


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尾递归通常可以由编译器转换为循环,尤其是在使用累加器时。

// tail recursion
int fac_times (int n, int acc = 1) {
    if (n == 0) return acc;
    else return fac_times(n - 1, acc * n);
}

会编译成类似的东西

// accumulator
int fac_times (int n) {
    int acc = 1;
    while (n > 0) {
        acc *= n;
        n -= 1;
    }
    return acc;
}

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There are two elements that must be present in a recursive function:

  1. 递归调用
  2. 一个保持计数返回值的地方。

A "regular" recursive function keeps (2) in the stack frame.

常规递归函数中的返回值由两种类型的值组成:

  • 其他返回值
  • 拥有函数计算的结果

我们来看看你的例子:

int factorial (int n) {
    if (n == 0) return 1;
    else return n * factorial(n - 1);
}

例如,帧f(5)“存储”它自己的计算(5)的结果和f(4)的值。如果我调用factorial(5),就在堆栈调用开始崩溃之前,我有:

 [Stack_f(5): return 5 * [Stack_f(4): 4 * [Stack_f(3): 3 * ... [1[1]]

请注意,除了我提到的值之外,每个堆栈还存储函数的整个范围。因此,递归函数f的内存使用是O(x),其中x是我必须进行的递归调用的数量。所以,如果我需要1kb的RAM来计算阶乘(1)或阶乘(2),我需要~100k来计算阶乘(100),依此类推。

A Tail Recursive function put (2) in it's arguments.

在Tail Recursion中,我使用参数将每个递归帧中的部分计算结果传递给下一个递归帧。让我们看看我们的阶乘示例,Tail Recursive:

int factorial(int n){int helper(int num,int accumulation){if num == 0 return accumulation else return helper(num - 1,cumulative * num)} return helper(n,1) }

让我们看看它在factorial(4)中的帧:

[Stack f(4, 5): Stack f(3, 20): [Stack f(2,60): [Stack f(1, 120): 120]]]]

看到差异?在“常规”递归调用中,返回函数以递归方式组成最终值。在Tail Recursion中,它们仅引用基本案例(最后一个评估)。我们将accumulator称为跟踪旧值的参数。

递归模板

常规递归函数如下:

type regular(n)
    base_case
    computation
    return (result of computation) combined with (regular(n towards base case))

要在Tail递归中转换它,我们:

  • 引入一个带有累加器的辅助函数
  • 在主函数内运行辅助函数,将累加器设置为基本情况。

看:

type tail(n):
    type helper(n, accumulator):
        if n == base case
            return accumulator
        computation
        accumulator = computation combined with accumulator
        return helper(n towards base case, accumulator)
    helper(n, base case)

看到不同?

尾调用优化

由于没有状态存储在Tail Call堆栈的非边界案例中,因此它们并不那么重要。然后,一些语言/解释器将旧堆栈替换为新堆栈。因此,在没有堆栈帧限制调用次数的情况下,Tail Calls在这些情况下的行为就像for循环一样。

由编译器来优化它,或者不是。


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这是一个简单的例子,展示了递归函数的工作原理:

long f (long n)
{

    if (n == 0) // have we reached the bottom of the ocean ?
        return 0;

    // code executed in the descendence

    return f(n-1) + 1; // recurrence

    // code executed in the ascendence

}

尾递归是一个简单的递归函数,其中重复在函数结束时完成,因此没有代码在ascendence中完成,这有助于大多数高级编程语言的编译器执行所谓的Tail Recursion Optimization,也有更复杂的优化被称为Tail recursion modulo


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递归函数是一个自己调用的函数

它允许程序员使用最少量的代码编写高效的程序。

缺点是如果写得不正确,它们会导致无限循环和其他意外结果。

我将解释Simple Recursive函数和Tail Recursive函数

为了编写一个简单的递归函数

  1. 要考虑的第一点是你何时决定退出循环,即if循环
  2. 第二个是如果我们是自己的功能,那么要做什么

从给定的例子:

public static int fact(int n){
  if(n <=1)
     return 1;
  else 
     return n * fact(n-1);
}

从上面的例子

if(n <=1)
     return 1;

是退出循环的决定性因素

else 
     return n * fact(n-1);

是否要进行实际处理

让我逐一打破任务,以便于理解。

如果我运行fact(4),让我们看看内部会发生什么

  1. 代入n = 4
public static int fact(4){
  if(4 <=1)
     return 1;
  else 
     return 4 * fact(4-1);
}

If循环失败所以它转到else循环所以它返回4 * fact(3)

  1. 在堆栈内存中,我们有4 * fact(3) 代入n = 3
public static int fact(3){
  if(3 <=1)
     return 1;
  else 
     return 3 * fact(3-1);
}

If循环失败,所以它转到else循环

所以它返回3 * fact(2)

记得我们称之为```4 * fact(3)``

fact(3) = 3 * fact(2)的输出

到目前为止,堆栈有4 * fact(3) = 4 * 3 * fact(2)

  1. 在堆栈内存中,我们有4 * 3 * fact(2) 代入n = 2
public static int fact(2){
  if(2 <=1)
     return 1;
  else 
     return 2 * fact(2-1);
}

If循环失败,所以它转到else循环

所以它返回2 * fact(1)

记得我们叫4 * 3 * fact(2)

fact(2) = 2 * fact(1)的输出

到目前为止,堆栈有4 * 3 * fact(2) = 4 * 3 * 2 * fact(1)

  1. 在堆栈内存中,我们有4 * 3 * 2 * fact(1) 代入n = 1
public static int fact(1){
  if(1 <=1)
     return 1;
  else 
     return 1 * fact(1-1);
}

If循环是真的

所以它返回1

记得我们叫4 * 3 * 2 * fact(1)

fact(1) = 1的输出

到目前为止,堆栈有4 * 3 * 2 * fact(1) = 4 * 3 * 2 * 1

最后,事实(4)= 4 * 3 * 2 * 1 = 24的结果

enter image description here

Tail Recursion会是

public static int fact(x, running_total=1) {
    if (x==1) {
        return running_total;
    } else {
        return fact(x-1, running_total*x);
    }
}

  1. 代入n = 4
public static int fact(4, running_total=1) {
    if (x==1) {
        return running_total;
    } else {
        return fact(4-1, running_total*4);
    }
}

If循环失败所以它转到else循环所以它返回fact(3, 4)

  1. 在堆栈内存中,我们有fact(3, 4) 代入n = 3
public static int fact(3, running_total=4) {
    if (x==1) {
        return running_total;
    } else {
        return fact(3-1, 4*3);
    }
}

If循环失败,所以它转到else循环

所以它返回fact(2, 12)

  1. 在堆栈内存中,我们有fact(2, 12) 代入n = 2
public static int fact(2, running_total=12) {
    if (x==1) {
        return running_total;
    } else {
        return fact(2-1, 12*2);
    }
}

If循环失败,所以它转到else循环

所以它返回fact(1, 24)

  1. 在堆栈内存中,我们有fact(1, 24) 代入n = 1
public static int fact(1, running_total=24) {
    if (x==1) {
        return running_total;
    } else {
        return fact(1-1, 24*1);
    }
}

If循环是真的

所以它返回running_total

running_total = 24的输出

最后,事实(4,1)= 24的结果

enter image description here


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我的回答更多的是猜测,因为递归与内部实现有关。

在尾递归中,递归函数在同一函数的末尾被调用。可能编译器可以通过以下方式进行优化:

  1. 让正在进行的功能结束(即调用使用的堆栈)
  2. 将要用作函数参数的变量存储在临时存储中
  3. 在此之后,使用临时存储的参数再次调用该函数

正如您所看到的,我们在相同函数的下一次迭代之前清理原始函数,因此我们实际上并没有“使用”堆栈。

但我相信如果在函数内部调用析构函数,那么这种优化可能不适用。


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编译器足以理解尾递归。如果从递归调用返回,则没有挂起操作,递归调用是最后一个语句,属于尾递归类别。编译器基本上执行尾递归优化,删除堆栈实现。考虑下面的代码。

void tail(int i) {
    if(i<=0) return;
    else {
     system.out.print(i+"");
     tail(i-1);
    }
   }

执行优化后,上面的代码将转换为下面的代码。

void tail(int i) {
    blockToJump:{
    if(i<=0) return;
    else {
     system.out.print(i+"");
     i=i-1;
     continue blockToJump;  //jump to the bolckToJump
    }
    }
   }

这就是编译器执行Tail Recursion Optimization的方法。

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