我如何简化f = x'yz + xy'z + xyz'？

Question

我正在努力简化表达式f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz。实际上，它可能不是这种表达方式。问题是：简化投票系统的布尔表达式，系统为：三个人对多个候选人投票，两个或两个以上的人应该同意（真实）候选人才能通过。所以我认为答案是xy + yz + xz，但我无法弄清楚它们之间的过程。谁能解释一下？

Answer 1

根据幂等/身份法，我们有x + x = x，所以xyz + xyz = xyz。应用这个原则，我们可以将表达式重写为：

 f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz
=> f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz + xyz + xyz --OR with xyz twice without affecting the value
=> f = x'yz + xyz + xy'z + xyz + xyz' + xyz --Rearrange
=> f = yz (x + x') + xz (y + y') + xy(z' + z) --Group
=> f = yz + xz + xy --Since x+x' = 1

也就是说，如图所示，您可以简单地将每对输入与AND组合在一起，并将它们组合在一起以获得相同的结果。通过这样做，您可以确保：

• 如果3个输入中的任何2个为真，则总体结果为真
• 当所有3都为真时，结果仍然是正确的

以这种方式表达它的优点是，您可以一次只关注每对输入，而不必担心第三对输入的影响。

Answer 2

一种简单的方法，不涉及逻辑推理

写一个truth table。对于三个输入，有2 ^ 3 = 8行。

四行对应于乘积和表达式中的给定项。

在Karnaugh map中输入表达式的八个值：

如图所示，将相邻的1个项组合成块。如果一对单元在一个输入中只是不同，则它们可以合并成更大的块。这样，块在每个合并步骤中将其单元数加倍并将其输入计数减少一。

每个得到的块对应于最小化表达式中的一个implicant项。

绘制地图并找到块可以使用马尔堡大学的一个漂亮的online tool自动完成。