寻找函数的梯度。Sympy与Jax

Question

我有一个函数 Black_Cox() 其中调用其他函数，如下图所示。

import numpy as np
from scipy import stats

# Parameters
D = 100
r = 0.05
γ = 0.1

# Normal CDF
N = lambda x: stats.norm.cdf(x)

H = lambda V, T, L, σ: np.exp(-r*T) * N( (np.log(V/L) + (r-0.5*σ**2)*T) / (σ*np.sqrt(T)) )

# Black-Scholes
def C_BS(V, K, T, σ):
    d1 = (np.log(V/K) + (r + 0.5*σ**2)*T ) / ( σ*np.sqrt(T) )
    d2 = d1 - σ*np.sqrt(T)
    return V*N(d1) - np.exp(-r*T)*K*N(d2)

def BL(V, T, D, L, σ):
    return L * H(V, T, L, σ) - L * (L/V)**(2*r/σ**2-1) * H(L**2/V, T, L, σ) \
              + C_BS(V, L, T, σ) - (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, L, T, σ) \
              - C_BS(V, D, T, σ) + (L/V)**(2*r/σ**2-1) * C_BS(L**2/V, D, T, σ)

def Bb(V, T, C, γ, σ, a):
    b = (np.log(C/V) - γ*T) / σ
    μ = (r - a - 0.5*σ**2 - γ) / σ
    m = np.sqrt(μ**2 + 2*r)
    return C*np.exp(b*(μ-m)) * ( N((b-m*T)/np.sqrt(T)) + np.exp(2*m*b)*N((b+m*T)/np.sqrt(T)) )

def Black_Cox(V, T, C=160, σ=0.1, a=0):
    return np.exp(γ*T)*BL(V*np.exp(-γ*T), T, D*np.exp(-γ*T), C*np.exp(-γ*T), σ) + Bb(V, T, C, γ, σ, a)

我需要处理这个函数的导数 Black_Cox 功能 w.r.t. V. 更准确地说，我需要在数千条路径上评估这个导数，在这些路径上，我改变其他参数，找到导数，并在某些地方评估。V.

什么是最好的方法？

• 我应该使用 sympy 找出这个导数，然后在我的 V 的选择，就像我在Mathematica中做的那样。D[BlackCox[V, 10, 100, 160], V] /. V -> 180，或者

• 我应该只用 jax?

如果 sympy，你会建议我怎么做？

用 jax 我明白，我需要做以下导入。

import jax.numpy as np
from jax.scipy import stats
from jax import grad

并在得到梯度之前重新评估我的函数。

func = lambda x: Black_Cox(x,10,160,0.1)
grad(func)(180.0)

如果我还需要使用 numpy 函数的版本，我是否必须为每个函数创建两个实例，或者是否有一种优雅的方法来复制一个函数的 jax 的目的？

Answer 1

Jax并没有提供任何内置的方法来重新编译一个使用jax版本的numpy和scipy函数。但是你可以使用一个像下面这样的代码段来自动完成它。

import inspect
from functools import wraps
import numpy as np
import jax.numpy

def replace_globals(func, globals_):
  """Recompile a function with replaced global values."""
  namespace = func.__globals__.copy()
  namespace.update(globals_)
  source = inspect.getsource(func)
  exec(source, namespace)
  return wraps(func)(namespace[func.__name__])

它的工作原理是这样的:

def numpy_func(N):
  return np.arange(N) ** 2

jax_func = replace_globals(numpy_func, {"np": jax.numpy})

现在你可以评估numpy版本:

numpy_func(10)
# array([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81])

和jax版本

jax_func(10)
# DeviceArray([ 0,  1,  4,  9, 16, 25, 36, 49, 64, 81], dtype=int32)

只要确保你在封装更复杂的函数时 替换掉所有相关的全局变量就可以了。