背包但确切的重量

Question

是否有算法来确定具有精确重量W的背包？即这就像正常的0/1背包问题，n个项目各有权重w_i和值v_i。最大化所有物品的价值，但背包中物品的总重量需要具有正确的重量W！

我知道“普通”0/1背包算法，但这也可以返回一个重量更轻但价值更高的背包。我想找到最高值但确切的W重量。

这是我的0/1背包实现：

public class KnapSackTest {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = new int[] {4, 1, 5, 8, 3, 9, 2};  //weights
        int[] v = new int[] {2, 12, 8, 9, 3, 4, 3}; //values

        int n = w.length;
        int W = 15; // W (max weight)

        int[][] DP = new int[n+1][W+1];

        for(int i = 1; i < n+1; i++) {
            for(int j = 0; j < W+1; j++) {
                if(i == 0 || j == 0) {
                    DP[i][j] = 0;
                } else if (j - w[i-1] >= 0) {
                    DP[i][j] = Math.max(DP[i-1][j], DP[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1]);
                } else {
                    DP[i][j] = DP[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println("Result: " + DP[n][W]);
    }
}

这给了我：

Result: 29

（请问我的问题中是否有任何不清楚的地方！）

Answer 1

只需在最后一个DP[i][j] = -infinity子句中设置else就可以了。

它背后的想法是稍微改变递归公式定义来计算：

• 找到具有正确权重j的最大值，直到项目i。

现在，感应假设会发生变化，正确性的证明与常规背包非常相似，具有以下修改：

DP [i] [j-weight [i]]现在是可以用j-weight[i]构造的最大值，你可以采用项目i，给出DP[i][j-weight[i]]的值，或者不接受它，给出DP[i-1][j]的值 - 这是使用正确的重量j与第一个i-1项目时的最大值。

请注意，如果由于某种原因你无法构造DP[i][j]，你将永远不会使用它，因为在寻找MAX时总是会丢弃-infinity值。

Answer 2

实际上，接受的答案是错误的，正如@Shinchan在评论中所发现的那样。

通过仅改变初始的dp状态而不是算法本身来获得精确的重量背包。

初始化，而不是：

            if(i == 0 || j == 0) {
                DP[i][j] = 0;
            }

应该：

            if (j == 0) {
                DP[i][j] = 0;
            } else if (i == 0 && j > 0) { // obviously `&& j > 0` is not needed, but for clarity
                DP[i][j] = -inf;
            }

剩下的就像你的问题一样。