scipy的稀疏eigs产生错误的特征向量

Question

关于以下问题，我有点困惑：

我正在计算量子通道的固定点，这意味着我想计算特定矩阵的前导特征向量。矩阵使得其维数为n ^ 2 x n ^ 2并且以这样的方式定义：将具有形状n x n的矩阵重新形成的前导特征值是正矩阵（具有正特征值的自伴随）。

如果我用scipy.sparse.linalg.eigs这样做，但我得到错误的结果。然而，精确的计算（使用scipy.linalg.eig）工作正常。我尝试使用k和ncv为解算器的参数，但没有让我正常工作，除非我设置k=n**2在这种情况下eigs只是指eig。但是，对于我实际上考虑到通道（下面脚本中的super_op）实际编码为LinearOperator的情况，这不起作用。所以我依靠使用eigs：/

任何人都知道如何正确运行？

感谢大家提前！

import numpy as np
from numpy.random import rand
from numpy import tensordot as td
from scipy.sparse.linalg import eigs
from scipy.linalg import eig


n = 16
d = 3

kraus_op = .5 - rand(n, d, n) + 1j * (.5 - rand(n, d, n))
super_op = td(kraus_op, kraus_op.conj(), [[1], [1]]).transpose(0, 2, 1, 3)

########
# Sparse
########

vals, vecs = eigs(super_op.reshape(n**2, n**2), k=n*(n-1), which='LM')

rho = vecs[:,0].reshape(n, n)

print('is self adjoint: ', np.allclose(rho, rho.conj().T))

super_op_times_rho = td(super_op, rho, [[2, 3], [0, 1]])

print('super_op(rho) == lambda * rho :', np.allclose(rho, super_op_times_rho/vals[0]))

########
# Exact
########

vals, vecs = eig(super_op.reshape(n**2, n**2))

rho = vecs[:,0].reshape(n, n)

print('is self adjoint: ', np.allclose(rho, rho.conj().T))

super_op_times_rho = td(super_op, rho, [[2, 3], [0, 1]])

print('super_op(rho) == lambda * rho :', np.allclose(rho, super_op_times_rho/vals[0]))

结果是：

is self adjoint:  False
super_op(rho) == lambda * rho : True
is self adjoint:  True
super_op(rho) == lambda * rho : True

为了完整性：

Python 3.5.2 numpy 1.16.1 scipy 1.2.1

Answer 1

毕竟我在同事的帮助下找到了解决方案：

虽然eig给出了特征向量（1）（按幅度排序）和（2）使得第一个条目是实数，eigs有另一个排序，不能像在eig中那样，也不能规范特征向量的复杂相位。通过将张量除以第一个条目的相位（对应于确保第一个对角线元素是真实的，以消除选择特征向量的复杂相位并使Hermiticity成为可能的自由......），可以轻松地校正相位。 。

因此，稀疏案例的更正代码段是：

vals, vecs = eigs(super_op.reshape(chi**2, chi**2), k=chi*(chi-1), which='LM')
# find the index corresponding to the largest eigenvalue
arg = np.argmax(np.abs(vals))
rho = vecs[:,arg].reshape(chi, chi)
# regularize the output array 
rho *= np.abs(rho[0, 0])/rho[0, 0]