处理货币价值，将数字除以100是否安全？

Question

在存储库代码中，在另一个团队开发的模块中，我发现有一个价格从美分到欧元的转换，只是将数字除以100。

代码是Javascript，所以它使用IEEE 754标准。

我知道将货币值作为浮点数处理是不安全的，但我想知道在将任务发送给其他团队之前这个案例是否安全。

到目前为止，我没有发现任何将整数除以100得到不准确结果的情况。让我们走得更远：100就是2*2*5*5。

我们知道将数字除以2是安全的，因为它只等于位置的移位。

所以我们可以很容易地说，如果存在一个不能被5整除的数字，则除以100是不准确的。

我做了很多测试，但我没有找到任何这些数字，但我还远远不是论文的理论论证。

那么，在IEEE 754标准中将数字除以100安全吗？

Answer 1

具有15位有效精度的浮点十进制数转换为64位二进制浮点数（JavaScript中的Number）并返回到十进制而不会丢失精度。请注意，虽然二进制数可能不会精确地存储十进制数，但它具有更多的精度位数（表示它需要至少17位十进制有效数字）并且精确地将舍入转换回原始十进制数。有关详细信息，请参阅see https://www.exploringbinary.com/number-of-digits-required-for-round-trip-conversions/。

当除以100时，二进制结果仍具有64位精度，并且可能以最小精度单位（manitissa的最低位）出现错误，除非结果下溢为0（有关完整详细信息，请参阅What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic）。仍然可以将舍入转换为15个有效十进制数字内的正确数字。

换句话说，如果您的十进制数字不超过15位有效数字，那么将它们除以100将保持该精度。

例如。在您的浏览器控制台中尝试123456789012345 / 100和0.000123456789012345 / 100（这两个数字都有15位精确的十进制数字） - 这些除法在15位有效十进制数字内返回正确的十进制数字：

123456789012345 / 100
1234567890123.45

0.000123456789012345 / 100
0.00000123456789012345

Answer 2

如果x是15十进制数字整数，则将x转换为JavaScript Number，除以100，并将结果转换为具有15个有效十进制数字的数字，恰好产生x / 100。证据如下。

笔记：

• 将除法的结果转换为具有15个有效十进制数字的数字，恰好产生x / 100。分割的实际结果虽然是Number格式，但通常不会是x / 100。例如，73/100产生0.729999999999999982236431605997495353221893310546875。
• 将除法的结果转换为超过15个有效十进制数字通常也不会产生x / 100，因为额外数字可能会显示差异，如上面的.73所示。 （当然，使用较少的数字可能不足以表示x / 100.）因此，如果希望将x / 100精确地传递给另一个进程，则必须使用恰好15个有效十进制数字（或其他一些缓解）为了错误）。
• 以下证明适用于15位整数x，而不适用于其他15位有效小数位数字（例如带有15位十进制数字的数字后跟一个或多个零或数字，以小数点开头，后跟一些零后跟15有效数字）。

Preliminaries

JavaScript是ECMAScript的一种实现，在Ecma-262和ISO / IEC 16262中指定。在第6.1.6节中，Ecma-262规定IEEE-754基本64位二进制浮点格式用于ECMAScript的Number类型，但仅限于使用单个NaN。条款6.1.6进一步描述了所使用的算法，它基本上是IEEE-754算术，具有舍入到最近，连接到偶数。

IEEE-754基本64位二进制浮点格式使用53位有效数。

二进制浮点数的最小精度单位（ULP）是归因于其有效数中最低有效位的位置的值。 （因此，ULP与指数一起缩放。）在ULP中测量，所有正常的53位有效数都在[252 ULP，253 ULP]中。

对于15位有效十进制数，此处的ULP将是归因于从前导有效数字向下计数的第15位数位置的值。

Lemma

首先，我们建立一个众所周知的事实，即如果数字在Number格式的正常范围内，则将15位有效十进制数字转换为Number并返回到15位有效十进制数字会产生原始数字。

如果x是浮点格式（2-1022≤| x | <21024）的正常范围内的15个有效十进制数字（不一定是整数），则将x转换为浮点数中可表示的最接近的值 - 点格式，然后将结果转换为15个有效十进制数字恰好产生x，当两个转换都执行舍入到最接近，连接到偶数。要看到这一点，让y成为第一次转换的结果。如果y与x的差值小于x的ULP的1/2，则x是最接近y的15位有效数字，因此必须是第二次转换的结果。

在第一次转换中，由于舍入规则，结果y最多为x的1/2 ULP。这是至多1/2 / 252的相对精度（即，潜在的1/2 ULP误差除以有效数的最小值，可以在ULP中测量）。因此，y与x的不同之处在于253中最多一个部分。在最坏的情况下，x的数字可以是9999999999999 = 1015-1，因此相对于x的ULP的误差将是（1015-1）/ 253，其中大约是x的ULP的.111倍。因此，y总是与x的差值小于其ULP的1/2，因此将y转换回15个有效十进制数将产生x。

证明

如果x是一个15位十进制数的整数，它在Number格式中是完全可表示的，因为Number格式在其有效数字中有53位，因此能够精确地表示高达253的所有整数，即大约9.007e15，其中超过1015。

因此，将x转换为Number恰好产生x而没有错误。

然后，通过舍入算术结果的规则，将x除以100得到最接近x / 100的可表示数。叫这个y。现在请注意，x / 100是一个可用15位有效十进制数字表示的数字。 （它可以用科学记数法写成x•10-2或源代码中的数字x后缀为e-2。）注意，将x / 100转换为Number也会产生y，因为转换产生，就像分裂一样，Number格式中最接近x / 100的数字。通过引理，将x / 100转换为Number并返回到15-有效十进制数字的结果产生x / 100，因此将x转换为Number，然后除以100，然后转换为15显着的结果十进制数字也产生x / 100。