以数值方式求解积分极限？

Question

我试图在两个函数的曲线下找到一个区域，使得该区域的面积等于给定的数字

m

。例如，通过集成两个函数：

f(x) = 3x - 3x^2
g(x) = x

象征性地从a到b，并将每一个都等于m（例如m=1/3）。系统可以解出a和b的值：

1.5 b^2 - b^3 - 1.5 a^2 + a^3 = 1/3
0.5 b^2 - 0.5 a^2 = 1/3

我得到的正解大约是：

a = 0.364823, b = 0.894294

现在，我的问题是：如果 f 和 g 作为向量（或 python 中的数组）而不是符号函数提供给我，我怎样才能找到 a 和 b？我知道如何使用

trapz()

来查找向量区域，但我不知道是否有办法使用它来以数字方式查找上述问题中的

a

和

b

。

谢谢！

Answer 1

你可以尝试sympy

>>> from sympy import *
>>> x,a,b = symbols('x a b')
>>> fx = "3*x - 3*x**3"
>>> gx = "x"
>>> m = 1/3
>>> int_fx = integrate(fx, (x,a,b))
3*a**4/4 - 3*a**2/2 - 3*b**4/4 + 3*b**2/2
>>> int_gx = integrate(gx, (x,a,b))
-a**2/2 + b**2/2
>>> solve([Eq(int_fx, m), Eq(int_gx, m)],(a, b))
[(-0.577350269189626, -1.00000000000000), (-0.577350269189626, 1.00000000000000), (0.577350269189626, -1.00000000000000), (0.577350269189626, 1.00000000000000)]

顺便说一句，我很难理解你是如何得到

的定积分解的

1.5 b^2 - b^3 - 1.5 a^2 + a^3 = 1/3

对于

f(x) = 3x - 3x^3

内

[a,b]

Answer 2

我认为您需要查看积分方程：例如，数值食谱和SO。