两个“整个”双精度数的乘积能否始终正确表示？

Question

这似乎是一个非常基本的问题，但我对浮点数的了解越来越模糊。假设我有两个双精度数（根据 IEEE 754），它们都精确地代表一个整数，例如

10

或

-1234

。如果我将它们相乘，如果两个数字都是任意精度整数，结果是否也始终是我得到的“正确”结果的精确表示？

Answer 1

不。 IEEE-754 二进制 64（“双精度”）将数字表示为 ±F•2^e，其中 F 是可用 53 个二进制数字表示的数字。 （有关 F 缩放及其与 e 的关系以及 e 限制的详细信息，本答案中未讨论。）

考虑 2⁵²+1。这可以用 53 个二进制数字表示（1 后面跟着 51 个 0，后面跟着 1）。它是一个整数。与自身相乘时，乘积为 2¹⁰⁴ + 2•2⁵² + 1 = 2¹⁰⁴ + 2⁵³ + 1。该数字需要 105 位二进制数来表示，因此无法用二进制64 格式。