为什么四个点的二次插值会产生三次图？

Question

考虑以下 Python 程序：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt

# Define your four data points
x = np.array([0, 1, 2, 3])  # x-coordinates of the points
y = np.array([0, 1, 0, 1])  # y-coordinates of the points

# Create the interpolation function with quadratic interpolation
f = interp1d(x, y, kind='quadratic')

# Generate a finer grid of x values for plotting
x_interp = np.linspace(min(x), max(x), 1000)

# Compute the corresponding y values using the interpolation function
y_interp = f(x_interp)

# Plot the data points and the interpolated curve
plt.scatter(x, y, label='Data Points')
plt.plot(x_interp, y_interp, label='Quadratic Interpolation')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Quadratic Interpolation with 4 Data Points')
plt.show()

这是结果图：

这不是二次多项式，而是三次多项式。

内部发生了什么

interp1d()

以及为什么生成的曲线不是二次曲线？

Answer 1

对于

scipy.interpolate.interp1d

，

kind

参数指定要使用哪种 spline。当我们谈论使用样条线插值时，这通常意味着它是分段插值。

因此，在这种情况下，通过选择二次插值方法，每两个点将通过二次函数连接。现在，如果我们就这样离开问题，它将是未定义的（变量多于方程），因此可以使用边界条件来处理（我不会讨论）。

如果您想使用单个二次方程对数据进行插值，则会遇到问题，因为二次方程由 3 个点指定，而您有 4 个点。相反，正如评论中提到的，您必须执行曲线拟合（即回归），而不是插值。