如何检查矩阵是否接近单位矩阵？

Question

我想知道是否存在一个标量度量，即旋转矩阵与相同维度的恒等矩阵有多接近？如果不能，请提出解决方法？

我正在使用遗传算法进行优化研究，更希望使用与身份矩阵接近的旋转矩阵。这就是为什么我需要将此度量包括在适应度函数中的原因。

Answer 1

一个相当简单的是

d(S,T) = sqrt( Trace( (S-R)'*(S-R)))

这是数学意义上的指标，即

d(S,T) >= 0
d(S,T) = d(T,S)
d(S,T) <= d(S,U) + d(U,T)

此外，在乘法下它是不变的，即

d( U*S, U*T) = d( S*U, S*T) = d( S, T)

在上面，S，T，U均为正交矩阵