我需要解决以下微观经济问题。
下面是一个矩阵，表示我在某一年(j)生产每种资产(i)的潜在收入。
2011 2012 2013 2014 2015
Asset1 35* 37 39 42 45
Asset2 16 17 18 19 20*
Asset3 125 130 136*139 144
Asset4 15 27 29 30* 33
Asset5 14 43* 46 50 52
Asset6 5 7 8 10 11*
星号(*)代表的应该是最优解集。
我如何使用R来求解生产计划，使我的收入（因而利润）最大化，但要受到所列出的约束条件的限制。 我的输出应该是一个类似于6x5的矩阵，其内容是 0的和 1的，其中 1'的代表选择在某一年生产一种商品。
这是一个典型的问题，也是一个需要重新表述的问题。
首先重新表述你的问题
Max( sum_[i,t] (pi_[i,t] - C_[i,t]) * x_[i,t])
Sd.
sum_t x_[i,t] = 1 [ for all i ]
sum_i x_[i,t] >= 30 [ for all t ]
x_[i,t] >= 0 [for all i, t]
在 lpSolve 包中的最大化问题是以线性表示方式给出的，例如，非矩阵格式。让我们先做一个向量来表示我们的 x_[i,t]. 为了方便起见，我们给它起个名字吧（虽然没有用到），这样我们就可以跟踪了。
n <- 6
t <- 5
#x ordered by column.
x <- c(35, 16, 125, 15, 14, 5, 37, 17, 130, 27, 43, 7, 39, 18, 136, 29, 46, 8, 42, 19, 139, 30, 50, 10, 45, 20, 144, 33, 52, 11)
# if x is matrix use:
# x <- as.vector(x)
names(x) <- paste0('x_[', seq(n), ',', rep(seq(t), each = n), ']')
head(x, n * 2)
x_[1,1] x_[2,1] x_[3,1] x_[4,1] x_[5,1] x_[6,1] x_[1,2] x_[2,2] x_[3,2] x_[4,2] x_[5,2] x_[6,2]
35 16 125 15 14 5 37 17 130 27 43 7
length(x)
[1] 30
现在，我们需要创建我们的条件。从第一个条件开始
sum_t x_[i,t] = 1 [ for all i ]
我们可以很简单地创建这个。这里要注意的是，维度必须正确。我们有一个长度为30的向量，所以我们需要条件矩阵有30列。此外，我们有6个资产，所以我们需要6行来满足这个条件。再一次让我们给行和列命名，以便于我们自己跟踪。
cond1 <- matrix(0, ncol = t * n,
nrow = n,
dimnames = list(paste0('x_[', seq(n), ',t]'),
names(x)))
cond1[, seq(n + 1)]
x_[1,1] x_[2,1] x_[3,1] x_[4,1] x_[5,1] x_[6,1] x_[1,2]
x_[1,t] 0 0 0 0 0 0 0
x_[2,t] 0 0 0 0 0 0 0
x_[3,t] 0 0 0 0 0 0 0
x_[4,t] 0 0 0 0 0 0 0
x_[5,t] 0 0 0 0 0 0 0
x_[6,t] 0 0 0 0 0 0 0
接下来我们填写正确的字段。x_[1,1] + x[1, 2] + ... = 1 和 x_[2,1] + x_[2,2] + ... = 1 以此类推。对于这个问题，使用for循环是最简单的。
for(i in seq(n)){
cond1[i, seq(i, 30, n)] <- 1
}
cond1[, seq(n + 1)]
x_[1,1] x_[2,1] x_[3,1] x_[4,1] x_[5,1] x_[6,1] x_[1,2]
x_[1,t] 1 0 0 0 0 0 1
x_[2,t] 0 1 0 0 0 0 0
x_[3,t] 0 0 1 0 0 0 0
x_[4,t] 0 0 0 1 0 0 0
x_[5,t] 0 0 0 0 1 0 0
x_[6,t] 0 0 0 0 0 1 0
我们仍然需要创建RHS和指定方向，但我现在先不说这个。所以接下来让我们为第二个条件创建矩阵。
sum_i x_[i,t] >= 30 [ for all t ]
这个过程非常相似，但现在我们需要为每个时期插入一行，所以矩阵的维度是5x30。这里的主要区别是，我们需要插入的值是 x_[i, t]
cond2 <- matrix(0, ncol = t * n,
nrow = t,
dimnames = list(paste0('t=', seq(t)),
names(x)))
for(i in seq(t)){
cond2[i, seq(n) + n * (i - 1)] <- x[seq(n) + n * (i - 1)]
}
cond2[, seq(1, n * t, n)]
x_[1,1] x_[1,2] x_[1,3] x_[1,4] x_[1,5]
t=1 35 0 0 0 0
t=2 0 37 0 0 0
t=3 0 0 39 0 0
t=4 0 0 0 42 0
t=5 0 0 0 0 45
请注意，我打印的结果是 x_[1, t] 来说明我们的做法是正确的。最后我们有最后一个条件。为此，我们注意到 ?lpSolve::lp 有争议 all.bin读到这里，它说
逻辑：所有变量都应该是二进制的吗？默认值。FALSE.
因此，由于所有变量都是1或0，我们只需将这个值设置为 TRUE. 在继续之前，让我们把条件合并成一个矩阵
cond <- rbind(cond1, cond2)
现在RHS和方向都是简单的取自2个条件。从文件上看 const.dir 争论
字符串的向量，给出约束的方向：每个值应该是"<"、"<="、"="、"> "或">="中的一个。在每一对中，两个值都是相同的）。
在我们的条件中，我们有6行代表第一个条件，还有几行代表条件2。因此我们需要 n (6)次 == 和 t (5)次 >=.
cond_dir <- c(rep('==', n), rep('>=', t))
RHS是以类似的方式创建的
RHS <- c(rep(1, n), rep(30, t))
这就是了! 现在我们准备使用 lpSolve::lp 函数。
sol = lpSolve::lp(direction = 'max',
objective.in = x,
const.mat = cond,
const.dir = cond_dir,
const.rhs = RHS,
all.bin = TRUE)
sol$objval
[1] 275
解决方案的权重存储在 sol$solution
names(sol$solution) <- names(x)
sol$solution
x_[1,1] x_[2,1] x_[3,1] x_[4,1] x_[5,1] x_[6,1] x_[1,2] x_[2,2] x_[3,2] x_[4,2] x_[5,2] x_[6,2] x_[1,3] x_[2,3] x_[3,3]
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
x_[4,3] x_[5,3] x_[6,3] x_[1,4] x_[2,4] x_[3,4] x_[4,4] x_[5,4] x_[6,4] x_[1,5] x_[2,5] x_[3,5] x_[4,5] x_[5,5] x_[6,5]
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
matrix(sol$solution,
ncol = t,
dimnames = list(rownames(cond1),
rownames(cond2)))
t=1 t=2 t=3 t=4 t=5
x_[1,t] 1 0 0 0 0
x_[2,t] 0 0 0 0 1
x_[3,t] 0 0 1 0 0
x_[4,t] 0 0 0 1 0
x_[5,t] 0 1 0 0 0
x_[6,t] 0 0 0 0 1
我们很快就发现这是正确的解决方案。 :-)
大家可能注意到了 "成本到底去哪儿了？"。在这个具体的案例中，成本是固定的，不是很有意思。这意味着我们在计算过程中可以忽略这些，因为我们知道总成本将是 30 * 6 = 180 (必须从目标值中减去)。然而，成本取决于各种因素，可能会影响最优解，这并不罕见。为了说明这一点，我将在这里包括我们如何在这个例子中加入成本。首先，我们必须扩展我们的目标向量，以纳入每个产品在每个时期的成本。
Fixed_C <- -30
x <- c(x, rep(Fixed_C, n * t))
接下来我们将添加一个 伪约束
x_[i,t] - C_[i,t] = 0 [for all i, t]
这个约束条件确保如果 x_[i,t] = 1 那么相关的成本就会加到问题中。有2种方法来创建这个约束。第一种是有一个矩阵，里面有 n * t 行，每个成本和周期都有一行。另外，我们也可以使用第一个约束条件，实际上只需要一个单一的约束条件即可。
sum_[i,t] x_[i,t] - C_[i,t] = 0
因为我们的第一个约束条件是确保 x[1, 1] != x[1, 2]. 所以我们的第三个约束条件是
cond3 <- c(rep(1, n * t), rep(-1, n * t))
最后我们要扩展我们的RHS和条件1、2矩阵。只需在条件矩阵中添加0，使尺寸合适即可。
cond1 <- cbind(cond1, matrix(0, nrow = n, ncol = n * t))
cond2 <- cbind(cond2, matrix(0, nrow = n, ncol = n * t))
cond <- rbind(cond1, cond2, cond3)
cond_dir <- c(cond_dir, '==')
RHS <- c(RHS, 0)
现在我们可以再一次用以下方法找到最优解 lpSolve::lp
solC = lpSolve::lp(direction = 'max',
objective.in = x,
const.mat = cond,
const.dir = cond_dir,
const.rhs = RHS,
all.bin = TRUE)
solC$objval
[1] 95
相当于我们之前的数值 275 减去我们的固定成本 Fixed_C * n = 180.