迭代所有大小为 n 的独特循环赛

Question

有 n 名参赛者的循环赛。也就是说，每对不同的节点 i 和 j 将相互竞争，结果可以表示为有向图，其中存在从 i 到 j 的边或从 j 到 i 的边。

现在，假设 n 为 3，因此节点为 i、j 和 k。从 i 到 j、j 到 k、k 到 i 可能存在一条边。另一种可能性是从 i 到 k、k 到 j、j 到 i 的边缘，但如果我执行的操作与“玩家”的身份无关，那么这些实际上是相同的锦标赛。也可能存在从 i 到 j、i 到 k 以及 j 到 k 的边，这是 3 个节点上锦标赛的另一个“类别”。

所以，我想提出一个程序，最好是用 Python 编写的，它将能够迭代 n 个参与者的每一个独特的锦标赛。

我现有的解决方案是生成一个长度为

n * (n-1) / 2

的位字段，并使用它来填充邻接矩阵的上三角形。然后，对于上三角形中的每个 0，下三角形中的相应条目是 1。显然，这将找到大小为 n 的每个循环赛锦标赛，但有许多实际上相同的锦标赛，并且它会大大减慢速度。我预计最多不需要在大于 15 的 n 中进行操作，但现在这是不可行的。

如果有人知道或可以导出一个公式来计算有多少个规模为 n 的独特循环赛，那肯定会有所帮助。

Answer 1

有多少场比赛？

n 个顶点上未标记锦标赛的数量由 OEIS 中的序列 A000568 给出，但没有简单的公式。 （n 个分区有一个总和...）”

OEIS 链接给出了一个公式（n 个分区的总和），以及该公式在多种编程语言（包括 Maple 和 Mathematica）中的实现。

如果你想在Python中实现这个公式，我建议使用库sympy来获取n的分区。