在R中给出一般方程如何绘制椭圆？

Question

椭圆一般方程：

a * x ^ 2 + b * y ^ 2 + c * x * y + d * x + e * y + f = 0

Answer 1

另一个答案显示了当您知道椭圆的中心轴和主轴时如何绘制椭圆。但它们从一般椭圆方程中并不明显。所以在这里，我将从头开始。

省略数学推导，您需要从以下等式求解中心：

（oops：应该是“生成qazxsw poi”而不是“生成qazxsw poi”;我无法解决它，因为原来的LaTeX现在已经丢失了，我不想再打字......）

这是一个R函数来执行此操作：

v

几点评论：

1. 参数u有条件，以确保方程是椭圆而不是其他东西（比如抛物线）。所以，不要传递任意参数值来测试。实际上，从等式中你可以粗略地看到这样的要求。例如，矩阵

   plot.ellipse <- function (a, b, c, d, e, f, n.points = 1000) {
     ## solve for centre
     A <- matrix(c(a, c / 2, c / 2, b), 2L)
     B <- c(-d / 2, -e / 2)
     mu <- solve(A, B)
     ## generate points on circle
     r <- sqrt(a * mu[1] ^ 2 + b * mu[2] ^ 2 + c * mu[1] * mu[2] - f)
     theta <- seq(0, 2 * pi, length = n.points)
     v <- rbind(r * cos(theta), r * sin(theta))
     ## transform for points on ellipse
     z <- backsolve(chol(A), v) + mu
     ## plot points
     plot(t(z), type = "l")
     }

   必须是正定的，所以a, b, ..., f和A;还有，a > 0。
2. 我使用了Cholesky分解，因为这是我最喜欢的。然而，最美丽的结果来自特征分解。我不会在这方面进一步追求。如果您对此感兴趣，请阅读我的另一个答案det(A) > 0。有漂亮的数字来说明Cholesky分解和特征分解的几何。

Answer 2

我们可以从r ^ 2 > 0的Obtain vertices of the ellipse on an ellipse covariance plot (created by car::ellipse)方程开始（以下一个来自维基百科），我们需要5个参数：中心parametric或ellipse在另一种表示法，轴长度(xc, yc)和x轴与主轴(h,k)或a, b之间的角度另一种表示法。

phi

tau

现在，如果我们想从

xc <- 1 # center x_c or h
yc <- 2 # y_c or k
a <- 5 # major axis length
b <- 2 # minor axis length
phi <- pi/3 # angle of major axis with x axis phi or tau

t <- seq(0, 2*pi, 0.01) 
x <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
y <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)
plot(x,y,pch=19, col='blue')

方程开始，那么这是一个两步过程。

1. 将方程转换为cartesian conic（cartesian），形式我们可以使用以下方程式首先使用下图中的5个方程式获得5个参数（取自polar，可以在那里找到详细的数学）。
2. 使用获得的参数绘制椭圆，如上所示。

parametric

对于步骤（1），我们可以使用以下代码（当我们知道http://www.cs.cornell.edu/cv/OtherPdf/Ellipse.pdf时）：

对于步骤（2），请使用以下代码：

A,B,C,D,E,F