Python Nolds：如何为Lorenz系统获得适当的值

Question

当前，我使用以下代码生成洛伦兹级数

def generate(x, stop=10000, s=10, b=8/3, r=28):
    def lor(v):
        return np.array([s * (v[1] - v[0]), v[0] * (r - v[2]) - v[1], v[0] * v[1] - b * v[2]])
    ret = []
    step = 0.1
    xtemp = x.copy()
    for i in range(stop):
        k1 = lor(xtemp)
        k2 = lor(xtemp + step / 2 * k1)
        k3 = lor(xtemp + step /2 * k2)
        k4 = lor(xtemp + step * k3)
        xtemp += step/6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
        ret.append(xtemp[0])
    return np.array(ret)

但是nolds.lyap_r产生无效值（我假设有效值为0.91）

import nolds
 l = generate([1, 0, 0])
 nolds.lyap_r(l, tau=0.1, emb_dim=5)
 1.0030932070169234

任何想法我在哪里弄错了？

Answer 1

错误是您假设Lorenz动力学的x坐标对应于第一个Lyapunov指数。观察您正在服用：

ret.append(xtemp[0])

但是，第一个李雅普诺夫指数量化了在不稳定流形的更不稳定方向上的发散率。

正如我所看到的，您只是在估计x坐标的第一个Lyapunov指数。此外，在这种方法中，对于每个坐标{x，y，z}，Lyapunov指数将为正，因为这种“简单”分解无法捕获稳定流形。然后，您将永远不会以这种方式找到第三李雅普诺夫指数（负数）。

解决方案是使用Gram-Schmidt过程来获取动力学扩展和收缩的正确方向，从而计算所有Lyapunov指数。最大值恰好是您正在寻找的Lyapunov指数（约0.9）。但是，有些论文对定性结果（+，0，-）的兴趣比其幅度大，因此，也许您可​​以找到其他一些论文，这些论文的最大Lyapunov指数值略有不同。

[值得注意的是，如果我们考虑每个变量的总和，以构建一个新信号，则与该新信号关联的Largest Lyapunov Exponent已达到您期望的值。我绘制了从8000点到10000点的信号，并获得了此帖子所附的图。