Prim的算法：如何获取要执行DECREASE_KEY操作的密钥索引？

Question

所以我按照Prim的MST的这个算法

输入：邻接列表形式的图G（V，E）

1. 使用构建堆时间复杂度为顶点创建最小堆：O（V）
2. 重复以下步骤，直到堆中没有更多元素。
3. 在堆上调用extract-min以获得具有最小成本O（log V）的顶点
4. 对于提取的顶点，找到邻接列表中的相邻顶点。
5. 对堆中的相邻顶点执行减少键操作。 O（logn V）

我班级给出的算法的时间复杂度分析如下：

O(V) => to build heap
O(VlogV) => V times EXTRACT_MIN operation
2E => traverse all edges in adjacency list
ElogV => E times DECREASE_KEY operation (Worst Case)

EXTRACT_MIN => O(logV)
DECREASE_KEY => O(logV)

Total Time Complexity = V + V*logV + 2E + E*log V
                      = O((V+E) logV)

我的问题是在执行decease键操作之前我不需要在min heap中找到相应的元素吗？并且在堆中搜索元素将花费O（V）时间。

对于上面的图我会做这样的事情（使用数组实现的最小堆）

                      A    B    C    D   E   F
                    ----------------------------------
 chosen as min        0   INF  INF  INF INF INF  ------> cost associated with vertices
                    ------------------------------
 A                        7    2    6   INF INF
                     ------------------------------
 C                        6         6    8   5
                     ------------------------------
 F                        6         3    7
                     ------------------------------
 D                        6              7
                     ------------------------------
 B                                       4
                     ------------------------------
 E

我的数组（min heap）最初看起来像这样：每个元素由两部分组成：顶点名称和成本。最小堆基于成本。

 A,0 | B,INF | C,INF | D,INF | E,INF | F,INF

在获得第一个最小元素（A）之后，我在邻接列表中查找其相邻顶点并找到B，C和D.现在我需要对最小堆中的这些顶点执行减少键操作。

仅当我知道要执行减少键操作的顶点的索引时，DECREASE_KEY操作才有效。为了得到索引，我不需要先在O（V）额外的时间内在数组中搜索它吗？

Answer 1

那么，你可以按照你想要的方式解决这个问题。它需要将指针从每个顶点保持回到堆中的索引。每当交换堆中的元素时，都会调整两个相关顶点上的指针。然后，当您需要调整顶点的键时，您可以按指针返回堆中的索引。

但是，我通常不这样做......

我通常将（成本，顶点）记录放在堆中，每当顶点的成本下降时，我就会添加一个新的记录。当我从堆中弹出一个顶点时，如果它已经完成，我就忽略它。你必须跟踪最终完成的顶点，这很容易。

这需要O（| E |）空间而不是O（| V |），但这通常不是什么大问题，时间复杂度保持不变。