如何求解包含一个积分和 2 个参数的方程

Question

这是我想要求解的方程组的一个例子。

a 和 b 的选择必须使这些积分的结果为 0。 但我不知道

• 如何与参数整合
• 如果我不能像 Ax=b 这样写，如何求解方程组。如果是这样我可以用 x = A 来解决它

Answer 1

假设您无法解析求解积分，您可以使用

int

和

syms

来获得积分的表达式。

syms x a b;
f = a*(x-8)^3 + b*(x-6)^5;
F = int(f, 0, 1);

你可以通过

solve

找到它的根源

solve(F, [a b])

比较每个方程的根可以告诉您是否存在

a

和

b

可以解方程。

Answer 2

积分是线性的，因此可以立即提取参数。您的示例中有

a * I1 + b * I2 = 0

和

a * I3 + b * I4 = 0

，其中

I1

是 (x-8)^3 等从 0 到 1 的积分。

本例中的被积函数是平凡多项式（即使在 u 替换后也是单项式）。您可以轻松地手动计算积分，尽管这里很简单，只需观察所有积分都必须非零。因此，您得到了

A * [a, b]' = 0

形式的通用线性系统，其中

A

中的所有条目均非零。除了退化系统（本例不是）之外，唯一的解决方案是

a = b = 0

。

一般来说，假设右侧有可能非零，您将使用相同的想法。将积分分布在参数上，得到一个方程组，其中参数乘以常数（非参数化积分的值）。通过分析或数值方式评估积分。以通常的方式求解所得方程组，如果该系统的参数始终是线性的，则只需

A \ rhs

。