我试图找到矩阵的解决方案，我知道行和列的总和以及单元格可以具有的最大值。我想找到限制范围内的可能解决方案。我已经尝试了各种各样的事情，比如构建一个所有单元格值的数组，并按顺序从每个单元格中挑选，但无论我尝试什么，我总是遇到问题，我用完了一个单元格的值。我也尝试了一种递归算法但是我只设法得到了第一个结果，或者它没有得到任何解决方案。我想我必须用回溯算法做到这一点？不确定...
任何帮助或指示将不胜感激。
行和A，B，C，列和X，Y，Z以及每个的最大值？众所周知。所有值都是正整数。
C1 | C2 | C3
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R1 | ? | ? | ? | A
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R2 | ? | ? | ? | B
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R3 | ? | ? | ? | C
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X | Y | Z
正如您在评论中写道的那样，您希望找到一个自己的解决方案，这里有一些指导原则：
使用Backtrack algorithm找到解决方案。您的价值空间由3 * 3 = 9个独立值组成，每个值都在1和maxval[i][j]之间。您的约束将是行和列总和（所有这些都必须匹配）
用所有1s使你的空间充满活力，然后递增它们，直到它们到达maxval。仅在满足该条件的每个值之后评估条件（特别是，在3个值之后，您可以评估第一行，在第6行之后，第7列之后，第二列之后，第二列之后，第三行之后9之后，第三个）
如果你到达第9，在所有条件都过去的情况下，你就有了解决方案。否则尝试从1到maxval的值，如果两者都不匹配，退后一步。如果迭代了第一个值，则没有解决方案。
就这样。
更高级的回溯：
您的移动值仅为左上角的2 * 2 = 4值。计算第三列，条件是它必须在1和maxval之间，用于该特定元素。在定义[1][1]元素之后，您需要使用列总和来计算[2][2]索引，并通过行总和验证其值（反之亦然）。相同的处理规则适用于上述：迭代所有可能的值，如果没有匹配则返回，并仅在可以应用规则时检查规则。
这是一种更快的方法，因为你有5个绑定变量（底行和右行），只有4个未绑定。这些是您特定规则的优化。但实施起来有点复杂。
PS：使用1是因为你有正整数。如果你有非负整数，你需要从0开始。
如果您听说过linear programming（LP）及其“堂兄弟”（ILP，MILP），这可能是一种很好的方法，可以帮助您高效地解决问题。 线性程序包含一组变量（您的矩阵未知数），约束（最大值，行和列的总和），以及目标函数（此处为无）以最小化或最大化。
我们将x [i] [j]称为您要查找的值。有以下数据：
NxM矩阵的维度
max_val[i][j]变量x[i][j]的最大值
row_val[i]行i上的值的总和
col_val[j]列j上的值的总和
然后一个可能解决您的问题的线性程序是：
// declare variables
int x[N][M] // or eventually float x[N][M]
// declare constaints
for all i in 1 .. N, j in 1 .. M, x[i][j] <= max_val[i][j]
for all i in 1 .. N, sum[j in 1 .. M](x[i][j]) == row_val[i]
for all j in 1 .. M, sum[i in 1 .. N](x[i][j]) == col_val[j]
// here the objective function is useless, but you still will need one
// for instance, let's minimize the sum of all variables (which is constant, but as I said, the objective function does not have to be useful)
minimize sum[i in 1 .. N](sum[j in 1 .. M](x[i][j]))
// you could also be more explicit about the uselessness of the objective function
// minimize 0
像gurobi或Cplex这样的求解器（但是它们中有更多，例如参见here）可以非常快速地解决这类问题，特别是如果你的解决方案不需要是整数，但可以是浮点数（这会使问题更多，更容易）。它还具有以下优点：不仅执行速度更快，而且编码更快更简单。它们具有几种常见编程语言的API，以方便其使用。 例如，你可以合理地期望在不到一分钟内解决这类问题，在整数情况下有数十万个变量，在实际变量情况下有数百万个。
编辑：在回应评论时，这里是OPL（Cplex和其他LP解算器使用的语言）中的一段代码，可以解决您的问题。我们考虑一个3x3的案例。
// declare your problem input
int row_val[1..3] = [7, 11, 8];
int col_val[1..3] = [14, 6, 6];
int max_val[1..3][1..3] = [[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10]];
// declare your decision variables
dvar int x[1..3][1..3];
// objective function
minimize 0;
// constraints
subject to {
forall(i in 1..3, j in 1..3) x[i][j] <= max_val[i][j];
forall(i in 1..3) sum(j in 1..3) x[i][j] == row_val[i];
forall(j in 1..3) sum(i in 1..3) x[i][j] == col_val[j];
}
LP解算器的概念是你只描述你想要解决的问题，然后求解器为你解决它。必须根据一组规则来描述问题。在当前情况下（整数线性规划或ILP），变量必须都是整数，并且约束和目标函数必须是关于决策变量的线性等式（或不等式）。 然后解算器将作为黑盒子工作。它将分析问题，运行可以解决问题的算法，并进行大量优化，并输出解决方案。