一维地球移动器在BigQuery / SQL中的距离

Question

设P和Q为整数上的两个有限概率分布，支持0和一些大整数N.P和Q之间的一维earth mover's distance是将P转换为Q必须支付的最小成本，考虑到它的成本为r * |纳米|将与整数n相关联的概率r“移动”到另一个整数m。

有一个简单的algorithm来计算这个。在伪代码中：

previous = 0
sum = 0
for i from 0 to N:
    previous = P(i) - Q(i) + previous
    sum = sum + abs(previous)         // abs = absolute value
return sum

现在，假设您有两个包含概率分布的表。列n包含整数，列p包含相应的概率。表是正确的（所有概率都在0和1之间，它们的总和是我想在BigQuery（标准SQL）中计算地球移动器在这两个表之间的距离。

1. 可能吗？我觉得有人需要使用分析功能，但我对它们没有多少经验，所以我不知道如何到达那里。
2. 如果N（最大整数）非常大，但我的表不是？我们可以调整解决方案以避免对每个整数进行计算吗？

Answer 1

希望我完全理解你的问题。这似乎是你正在寻找的：

WITH Aggr AS (
  SELECT rp.n AS n, SUM(rp.p - rq.p)
  OVER(ORDER BY rp.n ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) AS emd
  FROM P rp
  LEFT JOIN Q rq
  ON rp.n = rq.n
) SELECT SUM(ABS(a.emd)) AS total_emd
FROM Aggr a;

WRT问题＃2，注意我们只扫描表中的实际内容，无论N如何，假设P中的每个n与Q中的n一对一匹配。

Answer 2

我调整了迈克尔的答案来解决问题，这是我最终解决的问题。假设整数存储在列i中，并且概率存储在列p中。首先我加入两个表，然后我使用窗口为所有EMD(i)计算i，然后我求和所有绝对值。

WITH
joined_table AS (
  SELECT
    IFNULL(table1.i, table2.i) AS i,
    IFNULL(table1.p, 0) AS p,
    IFNULL(table2.p, 0) AS q,
  FROM table1
  OUTER JOIN table2
  ON table1.i = table2.i
),
aggr AS (
  SELECT
    (SUM(p-q) OVER win) * (i - (LAG(i,1) OVER win)) AS emd
  FROM joined_table
  WINDOW win AS (
    ORDER BY i
    ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW
  )
)
SELECT SUM(ABS(emd)) AS total_emd
FROM aggr