什么是f（n）= n ^ 4 + 100n ^ 2 + 50的上限？

Question

我正在解决一些与Big-O相关的练习，我坚持这个：

Exercise - Find upper bound for f(n) = n^4 + 100n^2 + 50

我试图一步一步地解决它，但是出了点问题......：

1.=> n^4 + 100n^2 + 50 <= O(g(n))
2.=> n^4 + 100n^2 + 50 <= Cn        ** Added -n^4 to both sides
3.=> n^4 + 100n^2 + 50 -n^4 <= Cn -n^4
4.=> 100n^2 + 50 <= Cn - n^4         ** Put n in common
5.=> 100n^2 + 50 <= n(C - n^3)       ** Divided n in the opposite site
6.=> (100n^2 + 50)/n <= C -n^3       ** Assumed 1 for n
7.=> 100 + 50 <= C - 1                      
8.=> 151 <= C

有一些错误，因为答案是c = 2和n = 11。我在stackoverflow上看到了同样的问题但没有一步一步的解决方案

Answer 1

猜测这个函数的上界是O（n ^ 4）是非常简单的，因为k * n ^ 4可以超过n ^ 3的任意倍数和n的低于4的其他倍数，在某个值之后n（其中k是倍数）。

我们来举几个示例：

1. n ^ 4 <2 * n ^ 4，对于所有n> 1。
2. 对于所有n> 2，n ^ 4 + n ^ 3 <2 * n ^ 4。

在您的情况下，您需要找到满足您的方程的系数K，使得n ^ 4 + 100n ^ 2 + 50 <= k *（n ^ 4）。

我将留下你要解决的正确等式，因为你所展示的那个明显不正确：

n^4 + 100n^2 + 50 <= O(g(n))
n^4 + 100n^2 + 50 <= O(n^4)
n^4 + 100n^2 + 50 <= k * n^4
n^4 + 100n^2 + 50 <= n^4 + 100*n^4 + 50*n^4
n^4 + 100n^2 + 50 <= 151 * (n^4)
// O(n^4) achieved, for all n >= 1.

您可以通过将n ^ 2替换为t将其转换为二次方程来求解此方程式，然后将方程式简化为：

t^2 + 100t + 50 <= k * t^2
// left for you to solve this.
// check for what value of `k` and `t`, this equation gets satisfied.

Answer 2

据我所知，我们可以通过一种简单的方式解决这个问题： -

1. n ^ 4 + 100 * n ^ 2 + 50 - 通过假设n ^ 2 = t，将该等式减小为二次方
2. t ^ 2 + 100 * t + 50 - 如上所述，方程式发生变化
3. 使用二次公式并求解该公式（t ^ 2 + 100 * t + 50），我们得到两个答案。
4. t = -100 +/- sqrt（100 ^ 2 - 4 * 1 * 50）/2.1
5. t = -71.8＆-128.2 - 现在将值替换回n ^ 2
6. n ^ 2 = -71.8＆-128.2
7. n = sqrt（-71.8）＆sqrt（-128.2）= 8.47＆11.32 - 查看上限数字并尝试解决可能是替代n的第一大数字。
8. n = 11因此，我们将n = 11作为可用于求上限的第一大数

希望能帮助到你！