Uber H3 地理空间索引系统中的 _geoToHex2d 函数中的 r 参数代表什么？

Question

我正在尝试了解 uber 的 H3 地理索引系统。我理解 _geoToVec3d() 函数，但我坚持使用 _geoToHex2d() 函数。

有谁知道等式在哪里 uber的H3源码中的函数_geoToHex2d()中的

cos(r) = 1 - 2 * sin^2(r/2) = 1 - 2 * (sqd / 4) = 1 - sqd/2

来自于？它描述了什么？ 或者也许有人理解方程中的参数r代表什么？ 我知道 sqd 是从二十面体面中心到要编码的点的平方距离。在代码的接下来几行中，如果 r 小于 epsilon，则包含该点的单元格的 2D 十六进制坐标将设置为 (0,0)。我推测 r 一定是距面中心的距离，但可能已经在日射投影平面中了？

Answer 1

我不得不承认这是我最不熟悉的H3库的领域，所以对以下解释持保留态度：

我相信，在这个函数的开头，

r

是从被索引的点到最近的二十面体面的中心的弧度距离。线

// cos(r) = 1 - 2 * sin^2(r/2) = 1 - 2 * (sqd / 4) = 1 - sqd/2
double r = acos(1 - sqd / 2);

将单位球面上两点之间的 3d 距离的平方转换为以弧度为单位的距离。该评论使用 双角恒等式

cos(2𝛼) = 1 − 2sin^2(𝛼)

将

cos(r)

表述为

sqd

。

解释

在上图中，单位球体的横截面，到

F->C

的距离是

1

，到

C->E

的平方距离是

sqd

。我们正在尝试找到角度

CFE

。

• sin^2(r/2)

  的值与

  sin^2(CFd)

  相同。由于

  sin(CFd) = C->d / 1 = C->d

  ，

  sin^2(CFd)

  是距离

  C->d

  的平方。
• 与

  C->d

  的距离平方为

  (sqrt(sqd) / 2)^2 = sqd / 4

• 使用双角恒等式，我们可以计算

  cos(r) = 1 - 2 * sin^2(r/2)

  。代入平方距离

  C->d

  得到

  cos(r) = 1 - 2 * (sqd / 4)

  ，简化为

  1 - sqd / 2

  。
• 我们可以使用反三角函数 arccosine 将

  r

  求解为

  acos(1 - sqd / 2)

对这个有点折磨人的解释表示歉意，因为我不是数学家。如您所见，

r

现在是角度

CFE

，即

C

和

E

之间的弧度距离。稍后在函数中，使用心射投影将其投影到二十面体面的平面空间中，然后使用二维六角坐标定位在该面上的平面六角网格中。