在 2 个相交圆和已知点之间创建切向圆弧

Question

我一直在努力解决通过点 P 在 C1 和 C2 之间设置切线弧的问题。我希望找到一种使用数学或几何来解决这个问题的方法，因为我需要在一些限制下对其进行编程在软件界面中。进一步详细信息如下图所示，我的目标是获得类似于图像中白色虚线的结果，其中 C1 是黄色圆圈的中心，C2 是绿色圆圈的中心，P1 是所需穿过的点，M是 C1 和 C2 之间的中点。提前感谢您的帮助。

我尝试了几种不同的方法，但在更改变量时找不到有效的答案。

Answer 1

我假设圆有相等的半径

R

，从中心线到圆心的距离是

D

，点

P

坐标是

py

。

R=5, D=3, py=3.39

的示例：

穿过点

P

的小圆接触点

F

中的大圆（以及点

G

中的另一个圆）。它的中心

E

具有纵坐标

cy

（尚未知），触摸点

F

具有坐标

tx, ty

（尚未知）。让我们定义向量

CF = (tx+D, ty)
EF = (tx, ty-cy)

向量

CF

和

EF

共线（它们是接触圆的法线），因此它们的叉积为零：

(tx+D)*(ty-cy)-ty*tx=0

我们还可以写出两个向量长度方程作为大圆和小圆的半径：

(tx+D)^2+ty^2 = R^2
tx^2+(ty-cy)^2=(py-cy)^2

现在我们有了三个未知数的三个方程，我已将这个系统放入 Maple 求解器中

结果很简单。我们只需要

cy

值。

请注意，当

cy

是小弧线的最低点（

P

上方非常小的圆）时，一个（较大的）

P

值对应于这种情况

Python 小代码：

D = 3
py = 3.39
R = 5
cy = -1/2*(D**2-R**2+2*py*R-py**2)/(py-R)
print(cy)
cy = 1/2*(R**2+2*R*py+py**2-D**2)/(py+R)
print(cy)

给予

1.9900310559006207
3.6586471990464835

其中第一个值小于

py

，我们希望该值作为小圆中心（我的图片中为2.0）。这里的小半径：

r=py-cy=1.39