Python中的最小二乘法？

Question

我有这些价值观：

T_values = (222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259) (x values)

C/(3Nk)_values = (0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316) (y values)

我知道他们遵循这个模型：

C/(3Nk)=(h*w/(k*T))**2*(exp(h*w/(k*T)))/(exp(h*w/(k*T)-1))**2

我也知道

k=1.38*10**(-23)

和

h=6.626*10**(-34)

。 我必须找到最能描述测量数据的 w。我想使用 python 中的最小二乘法来解决这个问题，但是我不太明白这是如何工作的。有人可以帮助我吗？

Answer 1

此答案提供了有关使用 Python 确定一般指数模式的拟合参数的演练。另请参阅有关 线性化技术 和使用

lmfit

库的相关帖子。

数据清理

首先，让我们将采样数据输入并组织为 numpy 数组，这将有助于稍后的计算和清晰度。

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize as opt
import numpy as np


#% matplotlib inline

# DATA ------------------------------------------------------------------------
T_values = np.array([222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259])
C_values = np.array([0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316])

x_samp = T_values
y_samp = C_values    

scipy 和 numpy 中有许多 曲线拟合 函数，每个函数的使用方式都不同，例如

scipy.optimize.leastsq

和

scipy.optimize.least_squares

。为了简单起见，我们将使用

scipy.optimize.curve_fit

，但是如果不选择合理的起始参数，很难找到优化的回归曲线。稍后将演示如何选择起始参数的简单技术。

评论

首先，虽然OP提供了预期的拟合方程，但我们将通过回顾指数函数的一般方程来解决使用Python进行曲线拟合的问题：

现在我们构建这个通用函数，它将使用几次：

# GENERAL EQUATION ------------------------------------------------------------
def func(x, A, c, d):
    return A*np.exp(c*x) + d

趋势

• 振幅：小

  A

  给出小振幅
• 形状：小

  c

  通过压平曲线的“膝盖”来控制形状
• position：

  d

  设置 y 轴截距
• orientation：负值

  A

  使曲线沿水平轴翻转；负值

  c

  使曲线沿垂直轴翻转

后面的趋势如下所示，突出显示了与具有不同参数的线（红线）相比的控制线（黑线）：

选择初始参数

使用后面的趋势，接下来让我们查看数据并尝试通过调整这些参数来模拟曲线。为了进行演示，我们根据数据绘制了几个试验方程：

# SURVEY ----------------------------------------------------------------------
# Plotting Sampling Data
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")

x_lin = np.linspace(0, x_samp.max(), 50)                   # a number line, 50 evenly spaced digits between 0 and max

# Trials
A, c, d = -1, -1e-2, 1
y_trial1 = func(x_lin,  A,     c, d)
y_trial2 = func(x_lin, -1, -1e-3, 1)
y_trial3 = func(x_lin, -1, -3e-3, 1)

plt.plot(x_lin, y_trial1, "--", label="Trial 1")
plt.plot(x_lin, y_trial2, "--", label="Trial 2")
plt.plot(x_lin, y_trial3, "--", label="Trial 3")
plt.legend()

通过简单的试错，我们可以更好地近似曲线的形状、幅度、位置和方向。例如，我们知道前两个参数（

A

和

c

）必须为负数。我们对

c

的数量级也有合理的猜测。

计算估计参数

我们现在将使用最佳试验的参数进行初步猜测：

# REGRESSION ------------------------------------------------------------------
p0 = [-1, -3e-3, 1]                                        # guessed params
w, _ = opt.curve_fit(func, x_samp, y_samp, p0=p0)     
print("Estimated Parameters", w)  

# Model
y_model = func(x_lin, *w)

# PLOT ------------------------------------------------------------------------
# Visualize data and fitted curves
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")
plt.plot(x_lin, y_model, "k--", label="Fit")
plt.title("Least squares regression")
plt.legend(loc="upper left")

# Estimated Parameters [-1.66301087 -0.0026884   1.00995394]

这是如何工作的？

curve_fit

是 scipy 提供的众多优化功能之一。给定初始值，所得到的估计参数将被迭代地细化，以便所得到的曲线最小化“残余误差”，或拟合线和采样数据之间的差异。更好的猜测可以减少迭代次数并加快结果的速度。利用这些拟合曲线的估计参数，现在可以计算特定方程的特定系数（留给 OP 的最后练习）。

Answer 2

scipy

:

import scipy.optimize.curve_fit

def my_model(T,w):
    return (hw/(kT))**2*(exp(hw/(kT)))/(exp(hw/(kT)-1))**2
w= 0 #initial guess
popt, pcov = curve_fit(my_model, T_values, C_values,p0=[w])      

Answer 3

curve_fit

可以完成这项工作，但需要对 w 有一个很好的初始猜测。尝试以下操作：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

T_values = (222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259)
C_values = (0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316)

k = 1.38*10**(-23)
h = 6.626*10**(-34)


def my_model(T, w):
    u = h*w/(k*T)
    return u**2*(np.exp(u))/(np.exp(u-1))**2


w = k * T_values[0] / h  #initial guess
popt, pcov = curve_fit(my_model, T_values, C_values, p0=[w])
print(popt)