手动实现协方差

Question

今天我做了一个奇怪的观察 - 我用 3 种不同的方式实现了两个向量的协方差，并得到了 2 个不同的答案。在R中，方法1和2是相同的。方法 3 在数学上应该是相同的，但不知何故它返回了不同的数字。这里有什么错误？

# Make some data
set.seed(100)
n = 100
foo = rnorm(n)
bar = rnorm(n)

# method 1
cov(foo, bar)

# method 2
sum(
  (foo - mean(foo)) * (bar - mean(bar))
) / (n-1)

# method 3
(
  sum(foo*bar) - 
    mean(bar)*sum(foo) -
    mean(foo)*sum(bar) + 
    mean(foo)*mean(bar)
) / (n-1)

Answer 1

您忘记了数学表达式

sum_{i=1}^n mean(foo)*mean(bar)

得出的是

n*mean(foo)*mean(bar)

，而不是

mean(foo)*mean(bar)

...

(sum(foo*bar) - 
    mean(bar)*sum(foo) -
    mean(foo)*sum(bar) + n*mean(foo)*mean(bar))/(n-1)