求解Cov(𝛽0^,𝛽̂1^)的解的澄清

Question

我正在寻找寻找 𝛽0^,𝛽̂1^ 协方差的解决方案，但在第二行迷失了方向。如果括号中的项是分布的，为什么会有 𝑥 乘以第一项（圈出的部分）。我可能会遗漏一些简单的东西，因为我已经研究了一会儿，但是有证据/规则来解释这一点吗？

我对第二行的发现与减去 𝑥¯ 圈出的解决方案相同。

Answer 1

目前还不清楚你是如何从协方差中得出第一行的。

但是，以下是

latex

中的证明：

\hat{\beta_1} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}
=\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}

\bar{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\bar{x}

cov(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}) = cov(\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x},\hat{\beta_1})
=-\bar{x}V(\hat{\beta_1})\bar{x}cov(\hat{\beta_1},\hat{\beta_1})
=-\bar{x}V\left(\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}\right)
=-\bar{x}V\left(\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})}{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}y_i\right)
=-\bar{x}\left(\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}{\sum_i(x_i-\bar{x})^4}\right)V(y_i)
=-\bar{x}\left(\frac{V(y_i)}{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}\right)
=-\bar{x}\left(\frac{\sigma^2}{S_{XX}}\right)

因为SO中不支持

latex

，证明如下图：