最大间隔子集不超过覆盖范围限制？

Question

这是一个我很困惑的编码问题。

给定一个二维数组[[1, 9], [2, 8], [2, 5], [3, 4], [6, 7], [6, 8]]，每个内部数组代表一个区间;如果我们堆积这些间隔，我们会看到：

1 2 3 4 5 6 7 8 9
  2 3 4 5 6 7 8
  2 3 4 5 
    3 4   
          6 7
          6 7 8

现在有一个限制，即每个职位的覆盖率应<= 3;显然我们可以看到位置3,4,6,7，覆盖范围是4。

那么问题是：最多可以选择多少个区间子集，这样每个区间都可以适合<= 3的限制？很明显，对于这种情况，我们只需删除最长的间隔[1,9]，因此最大子集数为6 - 1 = 5。

我应该对这样的问题应用什么算法？我猜这是区间调度的变体问题？

谢谢

Answer 1

我希望我能正确理解这个问题。这是我能用C＃获得的解决方案：

                //test
                int[][] grid =  { new int[]{ 1, 9 }, new int[] { 2, 8 }, new int[] { 2, 5 }, new int[] { 3, 4 }, new int[] { 6, 7 }, new int[] { 6, 8 } };
                SubsetFinder sf = new SubsetFinder(grid);
                int t1 = sf.GetNumberOfIntervals(1);//6
                int t2 = sf.GetNumberOfIntervals(2);//5
                int t3 = sf.GetNumberOfIntervals(3);//5
                int t4 = sf.GetNumberOfIntervals(4);//2
                int t5 = sf.GetNumberOfIntervals(5);//0


        class SubsetFinder
        {
            Dictionary<int, List<int>> dic;
            int intervalCount;
            public SubsetFinder(int[][] grid)
            {
                init(grid);
            }
            private void init(int[][] grid)
            {
                this.dic = new Dictionary<int, List<int>>();
                this.intervalCount = grid.Length;
                for (int r = 0; r < grid.Length; r++)
                {
                    int[] row = grid[r];
                    if (row.Length != 2) throw new Exception("not grid");
                    int start = row[0];
                    int end = row[1];
                    if (end < start) throw new Exception("bad interval");
                    for (int i = start; i <= end; i++)
                        if (!dic.ContainsKey(i))
                            dic.Add(i, new List<int>(new int[] { r }));
                        else
                            dic[i].Add(r);
                }
            }
            public int GetNumberOfIntervals(int coverageLimit)
            {
                HashSet<int> hsExclude = new HashSet<int>();
                foreach (int key in dic.Keys)
                {
                    List<int> lst = dic[key];
                    if (lst.Count < coverageLimit)
                        foreach (int i in lst)
                            hsExclude.Add(i);
                }
                return intervalCount - hsExclude.Count;
            }
        }

Answer 2

我认为你可以使用扫描算法解决这个问题。这是我的方法：

一般的想法是，我们将找到必须删除的最小间隔数，以便使所有数字都符合限制，而不是找出您可以选择且仍然符合限制的最大间隔数。以下是我们如何做到这一点：

首先创建三元组的向量，第一部分是整数，第二部分是布尔值，第三部分是整数。第一部分代表输入中的所有数字（start和end的间隔），第二部分告诉我们第一部分是区间的开始还是结束，而第三部分代表区间的id。

根据第一部分对创建的矢量进行排序，如果是平局，则start应该在某些间隔的end之前。

在您提供的示例中，向量将是：

1,0，2,0，2,0，2,0，3,0，4,1，5,1，6.0，6.0，7,1，8,1，8,1，9,1

现在，迭代向量，同时保留一组整数，表示当前采用的间隔。集合内的数字代表当前采用的区间的ends。该组应按递增顺序排序。

迭代向量时，我们可能会遇到以下两种可能之一：

1. 我们目前正在处理间隔的start。在这种情况下，我们只需将此区间的end（由第三部分id标识）添加到集合中。如果集合的大小超过限制，我们必须确切地删除一个间隔，但哪个间隔最适合删除？当然，这是end最大的区间，因为删除这个区间不仅可以帮助你减少所需的间隔数量以适应极限，但是它将在未来最有用，因为它持续时间最长。只需从集合中删除此间隔（相应的end将在集合中的最后一个，因为集合按照end的递增顺序排序）
2. 我们目前正在处理间隔的end，在这种情况下检查一下。如果它包含指定的end，只需删除它，因为相应的间隔已经结束。如果该集合不包含与我们正在处理的end匹配的end，则只需继续迭代到下一个元素，因为这意味着我们已经决定不采用相应的间隔。

如果您需要计算拍摄间隔的数量，甚至打印它们，可以轻松完成。每当你处理一个区间的end时，你实际上在该组中找到了这个qazxswpoi，这意味着相应的区间是一个，你可以将你的答案增加一个，打印它或保存在代表你的答案的某个向量中。

我的方法的总复杂度是：N Log（N），其中N是输入中给出的区间数。