在 Mathematica 中计算积分极限

Question

我有以下积分

我想知道如何证明这一点

下面我粘贴了我当前在 Mathematica 中的尝试。

tmp1 = Sqrt[Sum[(1/i), {i, 1, d}]]
Limit[Integrate[1/Sqrt[(2*\[Pi])] * Exp[-1/2 * z^2], {z, tmp1, Infinity}], d -> Infinity]

提前感谢您的任何指示或提示。

Answer 1

我们可以用手展示这一点。鉴于我们知道内部函数从 0 到无穷大积分为 1/2，我们可以说

1/2 = 从 0 到 sqrt(sum( 1/i )) 的积分 + 从 sqrt(sum(1/i)) 到无穷大的积分。

然后

1/2 - 从 0 到 sqrt(sum(1/i)) 的积分 = 从 sqrt(sum(1/i)) 到无穷大的积分

并且由于 lim d -> sqrt(sum(1/i)) = 无穷大的无穷大，我们知道左侧为零，并且积分收敛到零。