修改预定义值以通过最小的变化获得最佳值以适应某些方程？

Question

假设我有 3 个具有实值的数据点 a、b、c。我有两个方程， b_mod = c1 * a_mod + c2 和 c_mod = c3 * a_mod + c4 ，其中 c1,c2,c3,c4 是实值

我们如何以最小的变化修改 a -> a_mod 、 b -> b_mod 、 c -> c_mod ，使其适合给定的方程？

我想不出解决这个问题的方法。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

这是一个“线性最小二乘”问题。

这意味着约束方程是线性的，目标可以写为

minimise (a_mod - a)**2 + (b_mod -b)**2 + (c_mod - c)**2

。

在Python中可以使用numpy.linalg.lstsq来解决。 Numpy 是一个比较标准的 python 库。

从文档页面中，您可以看到函数

lstsq

解决了以下形式的问题：

minimise U**2
such that A U = B

其中

U

是要求解的向量，

A

和

B

分别是维度一致的矩阵和向量。

但是，您的问题具有以下形式：

minimise (X - X0)**2
such that A' X = B'

哪里

X = (a_mod)    X0 = (a)    A' = (c1  -1   0)    B' = (-c2)
    (b_mod)         (b)         (c3   0  -1)         (-c4)
    (c_mod)         (c)

这两个问题是等价的；只要让

U = X - X0

、

A = A'

和

B = B' - A X0

。

这给了我们代码：

from numpy.linalg import lstsq

# minimise (a_mod - a)**2 + (b_mod - b)**2 + (c_mod - c)**2
# such that:
#     c1 * a_mod - b_mod + 0     = -c2
#     c3 * a_mod + 0     - c_mod = -c4
def fit_minimal(a, b, c, c1, c2, c3, c4):
    A = np.array([[c1, -1, 0], [c3, 0, -1]])
    B = np.array([-c2, -c4])
    X0 = np.array([a, b, c])
    U = lstsq(A, B - A @ X0)[0]
    a_mod, b_mod, c_mod = U + X0
    return (a_mod, b_mod, c_mod)