如何计算3D点的偏航角，俯仰角和侧倾角？

Question

给出3D空间中的一个点，将一条线转换为指向该对象所需的三个角度（例如欧拉角）是什么？

想象一下我在3D中有一条线（或一个盒子），我想转换其航向，俯仰和倾斜以从原点指向3D点，我将使用那些角度的值？

我无法计算出指向诸如(1,2,3)之类的位置的角度的数学。

Answer 1

注意：我将使用3D Math Primer for Graphics and Game Development by Fletcher Dunn定义的约定“航向，俯仰，倾斜”，而不是“偏航，俯仰，滚动”。

首先，请注意，在2D坐标系中，只需一个角度+大小即可“指向” 2D中的任何点。

类似地，在3D坐标系中，您only need two angles +幅度可“指向” 3D中的任何点。最后一个角度（“倾斜”或“横滚”）不影响3D中点的位置。而是“旋转”指向它的箭头。如果对象是360度对称的，则根本不会看到旋转影响对象。如果物体不对称（例如飞机），则会影响物体（例如，将一侧机翼向地面倾斜，将另一侧机翼向天空倾斜）。

因此，最初的问题实际上变成了：“我如何找到航向角，俯仰角和大小以“指向” 3D空间中的任何点？”

您可以使用三角函数轻松解决这一问题。想象一下，我们有点(1,2,3)，我们正在尝试计算航向，俯仰，幅度。

对于下面的示例，我们使用此图，其中左轴为X，上轴为Y，右轴为Z。然后，(1,2,3)点由蓝色球体表示。

1。找到大小

首先，让我们找到最简单的值，即幅度。对我们来说幸运的是，无论我们处于多少维度，都可以轻松找到任意两点之间的大小（长度），只需使用Pythagorean theorem。由于我们处于3D状态，并且我们正在计算从原点到我们点的距离，因此我们的距离公式变为：

magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)

使用我们的实际值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

所以我们的幅度（或长度）是〜3.741。

2。查找标题

[接下来，要找到标题，请注意，我们只关心绕XZ平面的旋转，而根本不关心Y轴。如果我们要将3D空间“展平”为2D，则为becomes trivial to find the heading。

我们可以绘制一个与X轴成90度角的三角形（红色三角形），然后计算该角度。回忆三角函数tan(angle) = opposite / adjacent，求解angle，得到angle = arctan(opposite / adjacent)。

在这种情况下，“相邻”是已知数量（redAdjacent = x = 1），而“相反”也是已知数量（redOpposite = z = 3）。但是，我们不想使用arctan来求解方程，而是要使用atan2，因为它将为我们处理x和y的所有不同情况。

所以我们有：

heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)

使用我们的实际值：

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

所以我们的heading是1.249 rad，或〜72°。

3。找到音调

最后，我们需要找到音高。与航向相似，我们可以沿着包含以下三个点的平面将3D空间展平为2D：（A）原点(0,0,0)，（B）我们的点(1,2,3)和（C）我们的点，因为它将投影到XZ平面(1,0,3)上（例如，通过将Y值设置为0）。

如果我们在所有这三个点之间绘制一个三角形，您会注意到它们再次形成了直角三角形（绿色三角形）。我们可以再次简单地使用arctan2计算角度。

我们已经在第1步中计算了绿色斜边（即向量的大小）：

greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
                = 3.7416573868

我们也知道绿色三角形的对面与y值相同：

greenOpposite = y
              = 2

使用勾股定理，我们可以找到相邻角的长度：

greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)

注意，计算绿色三角形相邻长度的另一种方法是注意redHypotenuse == greenAdjacent，我们可以使用以下方法找到redHypotenuse：

redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
                = x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)

插入实际值，我们得到：

greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
              = 3.1622776602

因此，现在我们知道绿色三角形的相邻长度和相反长度，我们可以再次使用arctan2：

pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
      = atan2(2, 3.1622776602)
      = 0.563942641356

所以我们的pitch是0.5634弧度，或大约32°。

结论

如果从原点画一条线，长度为3.741，标题为1.249 rad，螺距为0.564 rad，它将从(0,0,0)延伸到(1,2,3)。