计算不规则物体的精确体积

Question

对于作业，我必须使用数值积分技术来计算圆柱表面的体积

Ω={(x,y,z) 在 R3 中，其中 (x−0.5)² +(y−0.5)² ≤ 0.5² 且 0 ≤ z ≤ |ln(x+y)|}。

我使用蒙特卡罗技术来计算体积。但为了确保答案正确，我想使用 Maple 检查确切的体积。我一直在网上搜索如何操作，但找不到。

所以问题是，有没有一种方法可以使用 Maple 计算该物体的精确体积或像积分一样 这个：

Answer 1

体积是

的积分

V = int_0^1 
        int_{0.5-sqrt(0.5^2-(x-0.5)^2)}^{0.5+sqrt(0.5^2-(x-0.5)^2)} 
            int_0^{abs(log(x+y))} 
                1 dz dy dx

或者，在改变变量之后，

V = int_-1^1
        int_{-sqrt(1-x^2)}^{+sqrt(1-x^2)}
            0.25 * abs(log(x/2+y/2+1)) dy dx

计算机代数系统可以计算出

的值

V = 0.25502

（例如，https://www.wolframalpha.com/input/?i=int_-1%5E1+int_%7B-sqrt(1-x%5E2)%7D%5E%7B%2Bsqrt(1-x %5E2)%7D+1%2F4+*+abs(log(x%2F2%2By%2F2%2B1))+dy+dx).