检查两个向量是否平行的最有效方法

Question

给定两个向量u=(ux,uy,uz)和v=(vx,vy,vz),，计算最便宜的方法是检查它们是平行还是几乎平行（给定一些阈值来近似），假设向量没有标准化？

关于几乎平行：例如，我们假设一个阈值直到第一个小数部分，例如，如果它们的叉积是0.01，我们可以安全地假设它们是平行的。我们可以类似地放宽我们可能想要使用的其他方法的条件。

如果首选遵循编程语言来回答，让我们假设我们想在c ++中这样做。

• 计算它们之间的角度是昂贵的，因为它需要使用反三角函数。
• 计算他们的交叉产品可能是一种方式，但不确定它是否是最有效的方式。
• 将它们标准化并验证它们的标量积是否为1。

Answer 1

简短回答：从理论上讲，它根本不重要。实际上：衡量它

答案很长：

同意逆三角函数是不可能的，让我们比较计算最后两个选项的最有效方法。

计算他们的交叉产品

由于允许矢量几乎平行，因此需要计算

crossx := uy * vz + uz * vy;
crossy := ...;
crossz := ...;
crossNorm = crossx * crossx + crossy * crossy + crossz * crossz;

其中涉及9次乘法和5次加法。如果向量（几乎）平行，那么crossNorm应该（几乎）为零。

然而，正如Baum mit Augen正确指出的那样，检查crossx，crossy和crossz几乎为零就足够了，将其减少到6次乘法和3次加法，最多可以进行两次比较。哪个更有效，取决于您的语言的细节和“几乎”相等的定义 - 例如如果接近等于意味着fabs(...) < 1E-6它可能只值得做一次。

计算标量积

标量产品是

scalar = ux * vx + uy * vy + uz * vz;

如果矢量（几乎）平行则

scalar * scalar

应该（几乎）相等

(ux * ux + uy * uy + uz * uz) * (vx * vx + vy * vy + vz * vz).

这归结为10次乘法和6次加法。

将它们标准化并验证它们的标量积是否为1。

这只是上面的计算，但有两个额外的double分区。这不会增加任何价值，事实上它可能只会引入舍入问题。

结论

两个选项的双重操作数几乎相同。如果你真的想知道，你可以比较组件https://godbolt.org/z/nJ9CXl，但差异对于所有实际目的来说都是最小的。事实上，如果你只计算“昂贵的”指令（mulsd，addsd，subsd）和比较（ucomisd）两个选项都有五个。但是，如果你必须确切知道，请测量它！

Answer 2

我认为这是错误的

标量= l1 * l2 * cos（r）= ux * vx + uy * vy + uz * vz标量^ 2 =（l1 * l2 * cos（r））^ 2 =（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2

（l1 * l2）^ 2 =（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）所以cos（x）^ 2 =标量^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）=（ux * vx + uy * vy + uz * vz）^ 2 /（ux * ux + uy * uy + uz * uz）*（vx * vx + vy * vy + vz * vz）

当cos为1或-1时，x接近0或180，因此cos（x）^ 2 - > 1

当这个

公式接近1

（他们*在+哦*你+从*雷克斯）^ 2 /（他们*他们+哦*哦+出*出）*（在re * in re + you * you + ref * re）那个boyswire westre paraliel