带悬链线的 curve_fit 返回巨大的参数，没有明显的原因

Question

我拍了一张链条的照片，以像素为单位采样了该链条的每个环的位置，以便获得模型 a*cosh((x-x0)/a) + 悬链线的最佳拟合参数c，其中 a、c 和 x0 是我正在寻找的参数。

当将我的采样点绘制到原始图片上时，它们与链重合，但我得到的参数是我预期的数千倍。

from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import matplotlib

fname="C:/Users/marti/OneDrive/Desktop/Pier/Catenaria.txt"    #directory and file name
plt.xlabel("x [pixels]")
plt.ylabel("y [pixels]")
plt.imshow(img)




x,y=np.loadtxt(fname, unpack=True)

sigma_y=3.
plt.errorbar(x, y, sigma_y, fmt=".")

def cat(x, a, c, x0):
    return c + a * np.cosh((x - x0) / a)

popt, pcov = curve_fit(cat, x, y, p0=(1800.,500., 2052.))
a_hat, c_hat, x0_hat = popt
sigma_a, sigma_c, sigma_x0 = np.sqrt(pcov.diagonal())
print(a_hat, sigma_a, c_hat, sigma_c, x0_hat, sigma_x0)
plt.plot(x, cat(x, a_hat, c_hat, x0_hat))




plt.show()

这是代码，以下是采样点：

396.6   1055.3
409.4   1079.2
418.3   1103.7
432.1   1129.2
439.4   1157.0
453.2   1180.9
466.0   1204.8
478.2   1229.8
489.3   1251.4
501.6   1277.0
512.7   1303.6
527.7   1328.1
538.8   1354.7
552.1   1378.1
563.2   1404.7
573.2   1424.2
590.4   1450.3
605.4   1478.6
627.7   1515.3
638.8   1536.9
654.3   1563.6
668.2   1587.5
680.4   1610.8
696.0   1636.9
711.0   1659.7
724.3   1681.9
739.9   1706.3
754.8   1728.6
769.3   1752.4
784.3   1775.2
798.7   1798.0
814.8   1819.6
828.2   1842.4
844.8   1862.4
862.6   1885.7
878.2   1908.5
892.0   1930.2
910.9   1953.0
927.6   1973.0
943.1   1996.3
959.8   2016.3
976.5   2036.3
995.9   2057.9
1012.0   2077.4
1029.2   2095.7
1045.3   2115.7
1067.6   2140.7
1088.7   2160.7
1106.4   2181.3
1126.4   2201.8
1149.2   2222.4
1165.3   2239.0
1187.0   2257.3
1204.8   2272.9
1227.0   2290.7
1247.0   2310.7
1270.9   2327.3
1286.4   2340.7
1305.8   2357.3
1329.7   2375.1
1353.6   2394.0
1379.7   2410.7
1398.1   2421.8
1420.3   2435.1
1442.5   2448.4
1466.9   2463.4
1488.6   2475.6
1513.0   2488.4
1537.5   2501.8
1553.6   2510.1
1578.6   2519.5
1606.9   2533.4
1630.8   2544.0
1658.0   2554.5
1680.2   2562.3
1709.1   2574.0
1740.2   2581.7
1766.9   2590.6
1794.6   2596.2
1819.6   2601.7
1844.6   2608.4
1873.0   2611.2
1901.3   2615.1
1925.7   2617.9
1954.1   2620.6
1982.4   2622.9
2006.3   2623.4
2036.8   2624.0
2061.3   2623.4
2086.8   2620.6
2117.4   2620.1
2141.2   2617.3
2167.9   2612.3
2194.6   2609.0
2221.2   2604.0
2250.1   2599.5
2276.8   2594.5
2301.2   2587.3
2333.4   2577.3
2371.2   2565.7
2399.5   2554.6
2422.3   2547.9
2447.8   2539.0
2474.5   2527.9
2497.8   2515.1
2522.8   2504.6
2548.9   2494.0
2573.4   2483.5
2593.9   2467.9
2620.0   2452.9
2647.2   2434.6
2671.1   2419.6
2688.9   2406.3
2710.0   2390.7
2734.4   2377.9
2755.6   2357.9
2777.2   2341.8
2800.5   2323.5
2822.8   2308.5
2844.4   2288.5
2866.6   2269.6
2886.6   2253.0
2908.9   2232.4
2930.5   2212.4
2950.0   2189.7
2969.4   2173.0
2989.4   2154.1
3004.4   2134.7
3023.8   2114.7
3043.3   2093.0
3059.4   2072.5
3076.6   2051.9
3093.8   2033.0
3111.0   2011.9
3128.8   1991.9
3146.0   1968.0
3166.6   1945.8
3182.7   1923.6
3197.1   1903.6
3219.3   1873.6
3239.9   1847.0
3255.5   1823.6
3272.7   1798.1
3291.0   1775.9
3303.2   1750.9
3320.4   1728.1
3334.3   1707.0
3350.4   1683.1
3366.5   1658.7
3378.2   1637.0
3394.3   1612.0
3406.0   1589.2
3420.4   1565.4
3433.2   1541.5
3448.2   1520.9
3462.1   1493.7
3476.0   1469.3
3490.4   1445.9
3505.4   1419.3
3514.3   1397.1
3529.3   1370.4
3541.5   1349.8
3555.4   1321.5
3566.5   1299.3
3578.2   1277.6
3591.5   1254.3
3607.0   1223.2
3617.0   1198.8
3630.4   1172.7
3643.2   1146.6
3654.3   1121.0
3663.1   1098.2
3674.3   1074.3
3687.6   1051.0

我尝试减少点数和初始值，但没有任何改变。

Answer 1

我尝试使用自己的回归软件。贴合度非常好

我无法说出为什么你的微积分失败了。我怀疑参数的“猜测”初始值与正确值相差太远。

另外：

使用更通用的 cosh 函数（低于四个参数而不是三个）可以获得更好的拟合。

为了避免“猜测”初值和迭代法收敛的问题，下面的结果是用不需要初值的非迭代法得到的。

此方法的一般原理在 https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales 中有解释。由于本文未讨论 cosh 函数的应用，因此缺少的算法如下所示（在任何数学软件中编写代码都非常简单）。