我正在经历一些与基于CRC生成器的单比特错误检测相关的问题，并试图分析哪个发生器检测到单比特错误，哪个不检测。
假设，如果我有一个CRC生成多项式为x4 + x2。现在我想知道它是否能保证检测到单比特错误？
1）如果对于误差多项式xk，k = 1,2,3，则在生成多项式x4 + x2的多项式除法的情况下，余数将分别为x，x2，x3，并且根据参考，如果生成器具有多个项并且x0的系数为1，则可以捕获所有单个位错误。但是没有说如果x0的系数不是1则不能检测到单比特错误。它说“在循环代码中，那些可被g（x）整除的e（x）错误不会被捕获。”
2）我必须检查E（x）/ g（x）的余数，其中E（x）（假设，它是xk）其中，k = 1,2,3，...是误差多项式和g（x） ）是生成多项式。如果余数为零，那么我无法检测到错误，当它为非零时，我就可以检测到它。
所以，根据我的说法，生成多项式x4 + x2可以保证在上述2点的基础上检测出单比特错误。请确认我是否正确。
如果x0的系数不是1，则无法检测到单比特错误？
如果x0的系数不是1，则将CRC多项式向左移位1（或更多）位（乘以x的某个幂）相同。将CRC多项式移位1位或更多位不会影响它检测错误的能力，它只是在码字末尾附加1位或更多位零位。
生成多项式x4 + x2保证检测单比特错误
正确。 x4 + x2是x2 + 1左移两位，x4 + x2 =（x2）（x2 + 1）=（x2）（x + 1）（x + 1），并且因为x2 + 1可以检测到任何单个位错误，那么x4 + x2也可以。同样使用（x + 1）项（其中两个），它会添加偶数奇偶校验，并可以检测任何奇数位错误。
通常，无论消息长度如何，所有CRC多项式都可以检测单个位错误。所有CRC多项式都有一个“cylic”周期：如果你使用CRC多项式作为Linear Feedback Shift Register的基础，并且初始值是000 ... 0001，那么在经过一定数量的周期后，它将循环回到000 .. 0.0001。 CRC的最简单的失败是具有2比特的错误，其中2比特被分开等于循环周期的距离。假设8位CRC（9位多项式）的周期为255，那么2位错误，一位[0]位和一位[255]将导致CRC = 0，并且无法检测到，单个位错误不会发生，它只会继续经历周期，其中没有一个包含值0.如果周期是n个周期，那么如果消息中的位数没有2位错误可能会失败+ CRC <= n。作为任何多项式时间（x + 1）的乘积的所有CRC多项式可以检测任何奇数个比特错误（因为x + 1实质上是添加偶校验检查）。
通过z位移位CRC多项式意味着每个码字将具有尾随零位的z。有些情况下这样做。假设你有一个快速的32位CRC算法。为了将该算法用于16位CRC，将17位CRC多项式向左移位16位，使得最低有效非零项为x16。在使用32位CRC算法进行计算之后，32位CRC右移16位以产生16位CRC。