如何在 MATLAB 中进行无限极限数值积分？

Question

我想对无限极限的积分进行数值积分。有谁知道我该怎么做？

int(x* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v),x, o , inf)

不起作用。

请注意，我将获得

v

的值。

%n=10;
kappa=.5;
delta0=.5;
Vmax=500;
Vdep=2.2;
l=2.2;
kbT=4.1;
%xb=.4;
fb=10;
k=1;
V0=5;

e1=(fb*l/kbT)*(kappa/delta0);
e2=Vmax/V0;
e3=Vdep/V0;

w=zeros(1,25);

for v=1:25
    w(:,v)=integral(@(x) x.*exp(v*x+((1-exp(v*x))/v)),0,inf);
end

e12=e2*exp(-e1*(1:25).*w.^2)-e3;
plot(e12);
ylim([0 25]);
hold on;
plot(0:25,0:25);
xlim([0 25]);
%hold off;

该图与文章中的真实数据不符！（特别针对e12曲线） 我需要计算两条曲线的交集（根据论文约为 13.8），然后在第二部分中我必须在 e12 中添加一个包含自变量的项：

v=13.8;
w= integral(@(x) x.*exp(v*x+((1-exp(v*x))/v)),0,inf)
e4 = zeros (1,180);
fl = 1:180;
e4(:,fl)= (fl*l/kbT)*(kappa/n);
e12=e2*exp(-e1*v*w^2-e4)-e3

但问题又是，运行此代码时，我将以 e12 的负值结束，在较大的 fl 值中（fl>160），该值应该接近于零

为了显示此代码与预期曲线有何不同，您可以将这些数据绘制在同一个图上：

fl = [0, 1, 4, 9, 15, 20, 25, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180];
e12 = [66, 60, 50, 40, 30, 25.5, 20, 15.5, 10.5, 8.3, 6.6, 5, 2.25, 1.1, 0.5];

这显然与代码生成的曲线不匹配。

Answer 1

假设问题是关于这个完整的代码：

syms x;
v = 1; % For example
int(x*exp(v*x + (1-exp(v*x))/v),x, 0, Inf)

问题是它会返回自身（即

int

找不到解析解），可以将

'IgnoreAnalyticConstraints'

选项设置为

true

（更多详细信息）来获得解决方案：

syms x;
v = 1; % For example
int(x*exp(v*x + (1-exp(v*x))/v),x, 0, Inf, 'IgnoreAnalyticConstraints', true)

返回

-ei(-1)*exp(1)

，其中

ei

是指数积分函数（另请参阅

expint

了解数值计算）。对于

v

的负值，解决方案也将采用

eulergamma

，即 Euler-Mascheroni 常数。当然，如果

v

是

0

，则积分是未定义的。

使用 Mathematica 10.0.2 的

Integrate

可以得到符号

v

的完整解决方案。

Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}]

退货

ConditionalExpression[(E^(1/v) (EulerGamma + Gamma[0, 1/v] + Log[1/v]))/v, Re[v] < 0]

申请

Assumptions

:

Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> v > 0]
Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> v < 0]

退货

(E^(1/v) Gamma[0, 1/v])/v

和

(E^(1/v) (2 EulerGamma - 2 ExpIntegralEi[-(1/v)] + Log[1/v^2]))/(2 v)

其中

Gamma

是上不完全伽玛函数。这些看起来与 Matlab 的结果相符。

在 Matlab 中对这些进行数值评估：

% For v > 0
v_inv = 1./v;
exp(v_inv).*expint(v_inv).*v_inv

或

% For v < 0
v_inv = 1./v;
exp(v_inv).*(2*double(eulergamma)+2*(expint(v_inv)+pi*1i)+log(v_inv.^2)).*v_inv/2

Answer 2

数值积分是通过对距离为

dx

的离散点处的函数求和来执行的。您选择的

dx

越小，获得的近似值就越好。例如，从

x=0

到

x=10

的积分是通过以下方式完成的：

x = 0:dx:10;
I = sum(x.* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v))*dx;

显然，你不能这样做

x=inf

。但我相信你的功能会迅速衰退。因此，您可以假设

x* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v) = 0

足够大

x

。否则积分发散。所以你所要做的就是设置

x

的限制。如果您不确定限制应该是多少，您可以执行带有停止条件的循环：

I = 0;
prevI = -1;
x = 0;
while abs(I-prevI)>err
  prevI = I;
  I = I + x.* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v)*dx;
  x = x + dx;
end

现在，您所要做的就是设置所需的

dx

和

err

Answer 3

您必须阅读此内容：数学作业链接

也许您在使用的函数中犯了错误。另请注意，MATLAB 语法区分大小写..